数据结构与算法专题——第三题 最长公共子序列

一：作用

最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。

二：概念

举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有27个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，你可以看出 cnblogs 和 belong 的公共子序列吗？在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中可以看到最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

三：解决方案

1. 枚举法

这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列个数有27个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。

2. 动态规划

既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

• 第一步：先计算最长公共子序列的长度。

• 第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

递推方程为：

不知道大家看懂了没？动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度，代码如下：

    public class Program
    {
        static int[,] martix;

        static string str1 = "cnblogs";
        static string str2 = "belong";

        static void Main(string[] args)
        {
            martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

            LCS(str1, str2);

            //只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可
            Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);

            Console.Read();
        }

        static void LCS(string str1, string str2)
        {
            //初始化边界，过滤掉0的情况
            for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
                martix[i, 0] = 0;

            for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
                martix[0, j] = 0;

            //填充矩阵
            for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
            {
                for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                {
                    //相等的情况
                    if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                    {
                        martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
                    }
                    else
                    {
                        //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
                        if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
                            martix[i, j] = martix[i - 1, j];
                        else
                            martix[i, j] = martix[i, j - 1];
                    }
                }
            }
        }
    }

图大家可以自己画一画，代码完全是根据上面的公式照搬过来的，长度的问题我们已经解决了，这次要解决输出最长子序列的问题，采用一个标记函数 Flag[i,j] ，当

①： C[i,j]=C[i-1,j-1]+1 时标记Flag[i,j]="left_up"; （左上方箭头）

②： C[i-1,j]>=C[i,j-1] 时标记Flag[i,j]="left"; （左箭头）

③: C[i-1,j]<C[i,j-1] 时 标记Flag[i,j]="up"; （上箭头）

例如：我输入两个序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。

    public class Program
    {
        static int[,] martix;

        static string[,] flag;

        static string str1 = "acgbfhk";

        static string str2 = "cegefkh";

        static void Main(string[] args)
        {
            martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

            flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

            LCS(str1, str2);

            //打印子序列
            SubSequence(str1.Length, str2.Length);

            Console.Read();
        }

        static void LCS(string str1, string str2)
        {
            //初始化边界，过滤掉0的情况
            for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
                martix[i, 0] = 0;

            for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
                martix[0, j] = 0;

            //填充矩阵
            for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
            {
                for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                {
                    //相等的情况
                    if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                    {
                        martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
                        flag[i, j] = "left_up";
                    }
                    else
                    {
                        //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
                        if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
                        {
                            martix[i, j] = martix[i - 1, j];
                            flag[i, j] = "left";
                        }
                        else
                        {
                            martix[i, j] = martix[i, j - 1];
                            flag[i, j] = "up";
                        }
                    }
                }
            }
        }

        static void SubSequence(int i, int j)
        {
            if (i == 0 || j == 0)
                return;

            if (flag[i, j] == "left_up")
            {
                Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1);

                //左前方
                SubSequence(i - 1, j - 1);
            }
            else
            {
                if (flag[i, j] == "up")
                {
                    SubSequence(i, j - 1);
                }
                else
                {
                    SubSequence(i - 1, j);
                }
            }
        }
    }

由于直接绘图很麻烦，嘿嘿，我就用手机拍了张：

好，我们再输入两个字符串：

    static string str1 = "abcbdab";
    static string str2 = "bdcaba";

通过上面的两张图，我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。

• 时间复杂度 ：构建矩阵我们花费了O(MN)的时间，回溯时我们花费了O（M+N)的时间，两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。

• 空间复杂度 ：构建矩阵我们花费了O(MN)的空间，标记函数也花费了O(MN)的空间，两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。