剑指offer 33——二叉搜索树的后序遍历序列

本题主要在于考察对二叉搜索树和后序遍历的理解。

原题

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true ，否则返回  false 。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考以下这颗二叉搜索树：

5
    / \
   2   6
  / \
 1   3

示例 1：

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例 2：

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

提示：

• 数组长度 <= 1000

原题url：https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof/

解题

基本概念

首先介绍一些基本概念，方便后续做题。

1. 后序遍历：[ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] ，即遍历顺序为 “左、右、根” 。

2. 二叉搜索树：左子树中所有节点的值 < 根节点的值；右子树中所有节点的值 > 根节点的值；其左、右子树也分别为二叉搜索树。

递归分治

既然本题只提供了后序遍历，那么我们就要在此基础之上下功夫了。

根据上面的提供的说明，后序遍历是，先左右子树再根节点，那么根是容易判断的，肯定在整个序列的最后。

而二叉搜索树节点值满足，左子树 < 根 < 右子树，因此我们就可以以根为基础，从后向前遍历，。

一开始的节点肯定都大于根，因为都在右子树上，一旦出现小于根的节点，说明就进入了左子树，那么之后所有的节点都应该小于根。然后再分别遍历左右子树，直至到叶子节点为止（即无左右子树的节点）。

按照上面的方法，就需要我们将后序遍历分成左右子树，不断递归遍历检查。

接下来看看代码：

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        return checkTree(postorder, 0, postorder.length - 1);
    }

    private boolean checkTree(int[] postorder, int start, int end) {
        // 如果start >= end，说明已经寻找结束
        if (start >= end) {
            return true;
        }

        // 找到根
        int root = postorder[end];
        // 左子树开始的下标
        int leftStart = start;
        // 左子树结束的下标
        int leftEnd = leftStart;
                // 找到第一个大于根节点的值
        while (leftEnd < end && postorder[leftEnd] < root) {
            leftEnd++;
        }
        leftEnd--;

        // 右子树开始的下标
        int rightStart = leftEnd + 1;
        // 右子树结束的下标
        int rightEnd = end - 1;
        // 检查右子树是否都大于根节点
        for (int i = rightStart; i < end; i++) {
            if (postorder[i] > root) {
                continue;
            }

            return false;
        }

        // 继续检查左右子树
        return checkTree(postorder, leftStart, leftEnd) &&
                checkTree(postorder, rightStart, rightEnd);
    }
}

提交OK。

分析一下复杂度：

• 时间复杂度 O(N^2) ：每次调用 checkTree 方法减去一个根节点，因此递归占用 O(N) ；最差情况下（即当树退化为链表），每轮递归都需遍历树所有节点，占用 O(N ^ 2) 。

• 空间复杂度 O(N) ：最差情况下（即当树退化为链表），递归深度将达到 N 。

递增栈

既然上面分析出时间复杂度为 O(N^2) ，那么是否可以找到一种更高效的方法，只遍历一次序列，就可以解决问题呢？因为这样可以在时间复杂度上进行很大的优化。

这就需要再进一步结合搜索二叉树和后序遍历的特性了。（这个方法我是在网上看到的，感觉属于一种比较偏门的优化，一般很难 想 出这种方法）

在我们从后向前遍历序列时，大致是经历了 根、右子树、左子树 ，而 左子树 < 根 < 右子树 ，那么一开始应该是单调递增的，我们可以将这些节点依次入栈。

当不满足 单调递增 调试时，一般是碰到了右子树中某一个左子树节点，或者真正的左子树，这时候可以将栈顶元素出栈，直到碰到比当前节点小的元素，那么将最后的栈顶元素设为 根节点 。

此时继续遍历，应该保证所有节点都小于根节点，因为此时已经进入左子树序列了。否则说明该序列不满足搜索二叉树的后序遍历。

重复以上步骤，如果遍历结束，说明满足搜索二叉树的后序遍历。

这么说可能比较难懂，直接上代码：

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        // 单调递增栈
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int root = Integer.MAX_VALUE;
        // 倒序遍历
        for (int i = postorder.length - 1; i >= 0; i--) {
            if (postorder[i] > root) {
                return false;
            }
            // 如果当前栈不为空，且当前遍历的节点小于栈顶节点
            while (!stack.isEmpty() &&
                postorder[i] < stack.peek()) {
                // 栈顶节点压出，且更新根节点
                root = stack.pop();
            }
            // 当前节点入栈
            stack.push(postorder[i]);
        }
        return true;
    }
}

提交OK。

分析一下复杂度：

• 时间复杂度 O(N) ：遍历 postorder 所有节点，各节点均入栈 / 出栈一次，使用 O(N) 时间。

• 空间复杂度 O(N) ：最差情况下（即当树退化为链表），单调递增栈 stack 存储所有节点。

神奇的是，力扣给出的执行结果显示：递归分治方法消耗的时间更短。这点大家也可以研究研究是为什么。

总结

以上就是这道题目我的解答过程了，不知道大家是否理解了。本题主要在于考察对二叉搜索树和后序遍历的理解，递归分治是容易想出来的方法，但是后面那种单调递增栈确实很难想到，可以作为一种特殊思路进行理解。

有兴趣的话可以访问我的博客或者关注我的公众号、头条号，说不定会有意外的惊喜。

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