深度学习的数学（四）：用恶魔来讲解神经网络的结构

编者按：本文节选自图灵程序设计丛书 《深度学习的数学》一书中的部分章节。

前文我们概述了神经网络的，但没有具体介绍其中最难的隐藏层。这是因为隐藏层肩负着 特征提取 （feature extraction）的重要职责，需要很长的篇幅来介绍。本节我们就来好好看一下隐藏层。

重要的隐藏层

如上一节考察过的那样，神经网络是将神经单元部署成网络状而形成的。然而，将神经单元胡乱地连接起来并不能得到有用的神经网络，因此需要设计者的预估，这种预估对于隐藏层是特别重要的。因为支撑整个神经网络工作的就是这个隐藏层。下面让我们利用上一节考察过的 例题 ，来逐渐展开有关隐藏层的具体话题。

例题建立一个神经网络，用来识别通过 4×3 像素的图像读取的手写数字 0 和 1。学习数据是 64 张图像，其中像素是单色二值。

前面已经提到过，模式识别的难点在于答案不标准，这个 例题 也体现了这样的特性。即使是区区一个 4×3 像素的二值图像，所读入的手写数字 0 和 1 的像素模式也是多种多样的。例如，下列图像可以认为是读入了手写数字 0。

对于这样的数字 0，即使人能设法识别出来，让计算机来判断也十分困难。

思路：由神经单元之间的关系强度给出答案

对于这种没有标准答案、识别困难的问题，怎么解决才好呢？思路就是“由网络进行判断”。乍一听会觉得这个方法不可思议，不过其中的逻辑却一点都不难，我们可以用恶魔组织的信息网络来做比喻。虽然这个比喻并不算准确，但是可以突出其本质。

假设有一个如下图所示的恶魔组织，隐藏层住着 3 个隐藏恶魔 A、B、C，输出层住着 2 个输出恶魔 0 和 1。输入层有 12 个手下①～⑫为隐藏恶魔 A、B、C 服务。

注：这里将生物学中的特征提取细胞的工作抽象化为 3 个恶魔 A、B、C。

最下层（输入层）的 12 个手下分别住在 4×3 像素图像的各个像素上，其工作是如果像素信号为 OFF（值为 0）就处于休眠状态；如果像素信号为 ON（值为 1）则变得兴奋，并将兴奋度信息传递给他们的主人隐藏恶魔 A、B、C。

注：即便不是黑白二值像素的情况，处理方式也是相同的。

住在隐藏层的 3 个隐藏恶魔，从下层（输入层）的 12 个手下那里获得兴奋度信息。接着，将获得的信息进行整合，根据其值的大小，自己也变兴奋，并将这个兴奋度传递给住在上层的输出恶魔。

不过，隐藏恶魔 A、B、C 有不同的喜好。他们分别喜欢下图所示的模式 A、模式 B、模式 C 的图案。这个性质影响了神经网络的特性。（看清他们的不同“偏好”，就是我们最初所提及的设计者的预估。）

住在最上层的 2 个输出恶魔也是从住在下层的 3 个隐藏恶魔那里得到兴奋度信息。与隐藏恶魔一样，他们将得到的兴奋度信息进行整合，根据其值的大小，自己也变兴奋。然后，这些输出恶魔的兴奋度就成为整个恶魔组织的意向。如果输出恶魔 0 的兴奋度比输出恶魔 1 的兴奋度大，神经网络就判定图像的数字为 0，反之则判定为 1。

可见，恶魔的世界里也存在着人际关系。

隐藏恶魔 A、B、C 对模式有着各自的偏好，与 12 个手下有不同的交情。隐藏恶魔 A 的偏好是之前的模式 A，因此与④、⑦性情相投。因为模式 A 的 4 号像素与 7 号像素是 ON，所以理所当然地与对应的看守人④、⑦性情相投。

同样地，手下⑤、⑧与隐藏恶魔 B，手下⑥、⑨与隐藏恶魔 C 性情相投，因此他们之间传递兴奋度的管道也变粗了（下图）。

住在隐藏层的隐藏恶魔 A、B、C 与住在上层的 2 个输出恶魔也有着人际关系。由于某种羁绊，输出恶魔 0 与隐藏恶魔 A、C 性情相投，而输出恶魔 1 与隐藏恶魔 B 性情相投。

以上就是恶魔组织的所有人际关系。除了隐藏恶魔 A、B、C 有不一样的偏好以外，这是一个人类社会中到处都可能存在的简单的组织。

那么，这里让我们读入手写数字 0。

于是，作为像素看守人的手下④、⑦和手下⑥、⑨看到这个图像就变得非常兴奋了（下图）。

这时，兴奋的手下④、⑦向性情相投的隐藏恶魔 A 传递了较强的兴奋度信息，兴奋的手下⑥、⑨也向性情相投的隐藏恶魔 C 传递了较强的兴奋度信息。相对地，几乎没有手下向隐藏恶魔 B 传递兴奋度信息（下图）。

接收了来自手下的兴奋度信息的隐藏恶魔们会怎样呢？接收了较强的兴奋度信息的隐藏恶魔 A 和隐藏恶魔 C 自然也变兴奋了。另一方面，隐藏恶魔 B 变得怎样呢？因为几乎没有从手下接收到兴奋度信息，所以一直保持冷静。

住在最上层的输出恶魔变得怎样了呢？输出恶魔 0 由于与兴奋的隐藏恶魔 A、C 关系亲密，从而获得了较强的兴奋度信息，所以自己也兴奋起来了。相对地，输出恶魔 1 与隐藏恶魔 A、C 关系疏远，而与之关系亲密的隐藏恶魔 B 一直保持冷静，所以输出恶魔 1 没有获得兴奋度信息，因此也保持冷静。

这样一来，读取手写数字 0 的图像后，根据恶魔之间的连锁关系，最终得到了“输出恶魔 0 兴奋，输出恶魔 1 冷静”的结果。根据前文中的“如果输出恶魔 0 的兴奋度比输出恶魔 1 的兴奋度大，神经网络就判断图像的数字为 0”，恶魔的网络推导出了 0 这个解答。

恶魔的心的偏置

在这个恶魔组织中，下层的兴奋度会或多或少地传递到上层。但是，除了具有亲密关系的各层之间传递的兴奋度信息以外，还遗漏了少量信息，就是“噪声”。如果这些噪声迷住了恶魔的心，就会导致无法正确地传递兴奋度信息。因此，这就需要减少噪声的功能。对于恶魔组织的情形，我们就将这个功能称为“心的偏置”吧！具体来说，将偏置放在恶魔的心中，以忽略少量的噪声。这个“心的偏置”是各个恶魔固有的值（也就是个性）。

从关系中得到信息

像上面那样，恶魔组织实现了手写数字的模式识别。我们应该关注到，是恶魔之间的关系（也就是交情）和各个恶魔的个性（也就是心的偏置）协力合作推导出了答案。也就是说，网络作为一个整体做出了判断。

图书简介： http://www.ituring.com.cn/book/2593