深入理解GBDT多分类算法

目录：

1. GBDT多分类算法

   1.1 Softmax回归的对数损失函数

   1.2 GBDT多分类原理

2. GBDT多分类算法实例

3. 手撕GBDT多分类算法

   3.1 用Python3实现GBDT多分类算法

   3.2 用sklearn实现GBDT多分类算法

4. 总结

5. Reference

本文的主要内容概览：

1. GBDT多分类算法

1.1 Softmax回归的对数损失函数

当使用逻辑回归处理多标签的分类问题时，如果一个样本只对应于一个标签，我们可以假设每个样本属于不同标签的概率服从于几何分布，使用多项逻辑回归（Softmax Regression）来进行分类：

其中，为模型的参数，而 可以看作是对概率的归一化。一般来说，多项逻辑回归具有参数冗余的特点，即将 同时加减一个向量后预测结果不变，因为 ，所以 。

假设从参数向量中减去向量 ，这时每一个都变成了。此时假设函数变成了以下公式：

从上式可以看出，从中减去 完全不影响假设函数的预测结果，这表明前面的回归模型中存在冗余的参数。特别地，当类别数为时，

利用参数冗余的特点，我们将所有的参数减去，上式变为：

其中。而整理后的式子与逻辑回归一致。因此，多项逻辑回归实际上是二分类逻辑回归在多标签分类下的一种拓展。

当存在样本可能属于多个标签的情况时，我们可以训练个二分类的逻辑回归分类器。第 个分类器用以区分每个样本是否可以归为第 类，训练该分类器时，需要把标签重新整理为“第 类标签”与“非第 类标签”两类。通过这样的办法，我们就解决了每个样本可能拥有多个标签的情况。

在二分类的逻辑回归中，对输入样本分类结果为类别和的概率可以写成下列形式：

其中，是模型预测的概率值， 是样本对应的类标签。

将问题泛化为更一般的多分类情况：

由于连乘可能导致最终结果接近的问题，一般对似然函数取对数的负数，变成最小化对数似然函数。

1.2 GBDT多分类原理

将GBDT应用于二分类问题需要考虑逻辑回归模型，同理，对于GBDT多分类问题则需要考虑以下Softmax模型：

其中是 个不同的CART回归树集成。每一轮的训练实际上是训练了 棵树去拟合softmax的每一个分支模型的负梯度。softmax模型的单样本损失函数为：

这里的是样本在个类别上作one-hot编码之后的取值，只有一维为，其余都是。由以上表达式不难推导：

可见，这棵树同样是拟合了样本的真实标签与预测概率之差，与GBDT二分类的过程非常类似。下图是Friedman在论文中对GBDT多分类给出的伪代码：

根据上面的伪代码具体到多分类这个任务上面来，我们假设总体样本共有类。来了一个样本 ，我们需要使用GBDT来判断 属于样本的哪一类。

第一步我们在训练的时候，是针对样本  每个可能的类都训练一个分类回归树。举例说明，目前样本有三类，也就是 ，样本 属于第二类。那么针对该样本的分类标签，其实可以用一个三维向量 来表示。 表示样本不属于该类， 表示样本属于该类。由于样本已经属于第二类了，所以第二类对应的向量维度为 ，其它位置为 。

针对样本有三类的情况，我们实质上在每轮训练的时候是同时训练三颗树。第一颗树针对样本 的第一类，输入为 。第二颗树输入针对样本 的第二类，输入为 。第三颗树针对样本 的第三类，输入为 。这里每颗树的训练过程其实就是CART树的生成过程。在此我们参照CART生成树的步骤即可解出三颗树，以及三颗树对 类别的预测值  , 那么在此类训练中，我们仿照多分类的逻辑回归 ，使用Softmax 来产生概率，则属于类别 的概率为：

并且我们可以针对类别求出残差 ；类别 求出残差 ；类别 求出残差。

然后开始第二轮训练，针对第一类输入为, 针对第二类输入为 ，针对第三类输入为 。继续训练出三颗树。一直迭代M轮。每轮构建3颗树。

当时，我们其实应该有三个式子：

当训练完以后，新来一个样本，我们要预测该样本类别的时候，便可以有这三个式子产生三个值 。样本属于某个类别的概率为：

2. GBDT多分类算法实例

（1）数据集

（2）模型训练阶段

首先，由于我们需要转化个二分类的问题，所以需要先做一步one-hot：

首先对所有的样本，进行初始化，就是各类别在总样本集中的占比，结果如下表。

注意：在Friedman论文里全部初始化为，但在sklearn里是初始化先验概率（就是各类别的占比），这里我们用sklearn中的方法进行初始化。

1）对第一个类别拟合第一颗树 。

首先，利用公式 计算概率。

其次，计算负梯度值，以 为例 ：

同样地，计算其它样本可以有下表：

接着，寻找回归树的最佳划分节点。在GBDT的建树中，可以采用如MSE、MAE等作为分裂准则来确定分裂点。本文采用的分裂准则是 MSE ，具体计算过程如下。遍历所有特征的取值，将每个特征值依次作为分裂点，然后计算左子结点与右子结点上的MSE，寻找两者加和最小的一个。

比如，选择作为分裂点时 。

• 左子结点上的集合的MSE为：

• 右子节点上的集合的MSE为：

比如选择作为分裂点时 。

对所有特征计算完后可以发现，当选择做为分裂点时，可以得到最小的， 。

下图展示以为分裂点的 拟合一颗回归树的示意图：

然后，我们的树满足了设置，还需要做一件事情，给这棵树的每个叶子节点分别赋一个参数 （也就是我们文章提到的 ），来拟合残差。

最后，更新可得下表：

至此第一个类别（类别）的第一颗树拟合完毕，下面开始拟合第二个类别（类别）的第一颗树。

2）对第二个类别拟合第一颗树 。

首先，利用 计算概率。

其次，计算负梯度值，以 为例 ：

同样地，计算其它样本可以有下表：

然后，以 为分裂点的 拟合一颗回归树，可计算得到叶子节点：

最后，更新 可得下表：

至此第二个类别（类别）的第一颗树拟合完毕。然后再拟合第三个类别（类别）的第一颗树，过程也是重复上述步骤，所以这里就不再重复了。在拟合完所有类别的第一颗树后就开始拟合第二颗树。反复进行，直到训练了轮。

3. 手撕GBDT多分类算法

本篇文章所有数据集和代码均在我的GitHub中，地址：https://github.com/Microstrong0305/WeChat-zhihu-csdnblog-code/tree/master/Ensemble%20Learning/GBDT_Multi-class

3.1 用Python3实现GBDT多分类算法

需要的Python库：

pandas、PIL、pydotplus、matplotlib

其中 pydotplus 库会自动调用 Graphviz ，所以需要去 Graphviz 官网下载 graphviz-2.38.msi 安装，再将安装目录下的 bin 添加到系统环境变量，最后重启计算机。

由于用 Python3 实现 GBDT 多分类算法代码量比较多，我这里就不列出详细代码了，感兴趣的同学可以去我的 GitHub 中看一下，地址：https://github.com/Microstrong0305/WeChat-zhihu-csdnblog-code/tree/master/Ensemble%20Learning/GBDT_Multi-class/GBDT_GradientBoostingMultiClassifier

3.2 用sklearn实现GBDT多分类算法

import numpy as np

from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier

'''

调参：

loss：损失函数。有deviance和exponential两种。deviance是采用对数似然，exponential是指数损失，后者相当于AdaBoost。

n_estimators:最大弱学习器个数，默认是100，调参时要注意过拟合或欠拟合，一般和learning_rate一起考虑。

learning_rate:步长，即每个弱学习器的权重缩减系数，默认为0.1，取值范围0-1，当取值为1时，相当于权重不缩减。较小的learning_rate相当于更多的迭代次数。

subsample:子采样，默认为1，取值范围(0,1]，当取值为1时，相当于没有采样。小于1时，即进行采样，按比例采样得到的样本去构建弱学习器。这样做可以防止过拟合，但是值不能太低，会造成高方差。

init：初始化弱学习器。不使用的话就是第一轮迭代构建的弱学习器.如果没有先验的话就可以不用管

由于GBDT使用CART回归决策树。以下参数用于调优弱学习器，主要都是为了防止过拟合

max_feature：树分裂时考虑的最大特征数，默认为None，也就是考虑所有特征。可以取值有：log2,auto,sqrt

max_depth：CART最大深度，默认为None

min_sample_split：划分节点时需要保留的样本数。当某节点的样本数小于某个值时，就当做叶子节点，不允许再分裂。默认是2

min_sample_leaf：叶子节点最少样本数。如果某个叶子节点数量少于某个值，会同它的兄弟节点一起被剪枝。默认是1

min_weight_fraction_leaf：叶子节点最小的样本权重和。如果小于某个值，会同它的兄弟节点一起被剪枝。一般用于权重变化的样本。默认是0

min_leaf_nodes：最大叶子节点数

'''

gbdt = GradientBoostingClassifier(loss='deviance', learning_rate=1, n_estimators=5, subsample=1

, min_samples_split=2, min_samples_leaf=1, max_depth=2

, init=None, random_state=None, max_features=None

, verbose=0, max_leaf_nodes=None, warm_start=False

)

train_feat = np.array([[6],

[12],

[14],

[18],

[20],

[65],

[31],

[40],

[1],

[2],

[100],

[101],

[65],

[54],

])

train_label = np.array([[0], [0], [0], [0], [0], [1], [1], [1], [1], [1], [2], [2], [2], [2]]).ravel()

test_feat = np.array([[25]])

test_label = np.array([[0]])

print(train_feat.shape, train_label.shape, test_feat.shape, test_label.shape)

gbdt.fit(train_feat, train_label)

pred = gbdt.predict(test_feat)

print(pred, test_label)

用 sklearn 实现 GBDT 多分类算法的 GitHub 地址：https://github.com/Microstrong0305/WeChat-zhihu-csdnblog-code/blob/master/Ensemble%20Learning/GBDT_Multi-class/GBDT_multiclass_sklearn.py

4. 总结

在本文中，我们首先从Softmax回归引出GBDT的多分类算法原理；其次用实例来讲解GBDT的多分类算法；然后不仅用Python3实现GBDT多分类算法，还用sklearn实现GBDT多分类算法；最后简单的对本文做了一个总结。至此，GBDT用于解决回归任务、二分类任务和多分类任务就完整的深入理解了一遍。

5. Reference

【1】Friedman J H. Greedy function approximation: a gradient boosting machine[J]. Annals of statistics, 2001: 1189-1232.
【2】《推荐系统算法实践》，黄美灵著。
【3】《百面机器学习》，诸葛越主编、葫芦娃著。
【4】Softmax函数与交叉熵，地址：https://blog.csdn.net/behamcheung/article/details/71911133#%E5%AF%B9%E6%95%B0%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0
【5】图示Softmax及交叉熵损失函数，地址：https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/82706834
【6】GBDT详细讲解&常考面试题要点，地址：https://mp.weixin.qq.com/s/M2PwsrAnI1S9SxSB1guHdg
【7】机器学习算法GBDT的面试要点总结-上篇，地址：https://www.cnblogs.com/ModifyRong/p/7744987.html
【8】Gradient Boosting Decision Tree，地址：http://gitlinux.net/2019-06-11-gbdt-gradient-boosting-decision-tree/
【9】GBDT算法用于分类问题 - hunter7z的文章 - 知乎，地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/46445201
【10】GBDT原理与实践-多分类篇，地址：https://blog.csdn.net/qq_22238533/article/details/79199605
【11】代码实战之GBDT，地址：https://louisscorpio.github.io/2018/01/19/%E4%BB%A3%E7%A0%81%E5%AE%9E%E6%88%98%E4%B9%8BGBDT/
【12】Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial，地址：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial

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