{高中生能看懂的}梯度下降是个啥？

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正文

刚接触机器学习的同学避不开的一个专业名词就是梯度下降。 顿时心里万马奔腾，其实很简单的，你先得理解概念才能看到那些公式不怂。 （当然本文全程无公式，书写用时2小时，阅读估计10分钟）

本文主要解决三个问题：

1. 梯度到底是啥？

2. 梯度下降有啥用？

3. 为啥要下降？

问题一： 梯度是个啥？

其 实 “梯度” 你Ctr+H替换成 “导数” 就可 以了，梯度就是目标函数的导数。以后你在书上遇到这个词就替换成“导数”就容易理解多了。

至于Gradient为啥翻译成梯度，我也不知道，知道的朋友告诉下我涨下姿势。 >_>

问题二： 梯度下降有啥用？

用问题一的解决方案，替换“梯度”为“导数”。 问题变成了： 导数下降干嘛的？ 我暂时把答案写上稍后解释： 梯度下降就是用来求某个函数最小值时自变量对应取值。 这个函数名字叫做损失函数（cost/loss function），直白点就是误差函数。 一个算法不同参数会产生不同拟合曲线，也意味着有不同的误差。 损失函数就是一个自变量为算法的参数，函数值为误差值的函数。 梯度下降就是找让误差值最小时候算法取的参数。 （看到这里肯定也是一脸懵逼，好不容易知道梯度是啥现在又tmd多了个损失函数，不急看完损失函数是啥再回头看就懂了梯度下降干嘛的了）

那么什么是损失函数（误差函数）？

机器学习算法中 有一类算法 就是产生一条曲线来拟合现有的数据，这样子就可以实现预测未来的数据，这个专业术语叫做回归（见到回归就替换成拟合就好了~^~）。 还有另外一种类似 也是产生一条曲线，但是这个曲线时用来将点分隔成两块，实现分类，在这个曲线一侧为一类另外一侧算一类。 但是我怎么知道这个算法产生的拟合曲线效果好不好呢？ 这个东东叫做误差，预测值减去真实值最后取绝对值，没错就是这么简单粗暴~~

产生的拟合曲线并不是完全和现有的点重合，拟合曲线和真实值之间有一个误差。 一个算法不同参数会产生不同拟合曲线，也意味着有不同的误差。 损失函数就是一个自变量为算法的参数 ， 函数值为误差值的函数。 梯度下降就是找让误差值最小时候这个算法对应的参数。 （是不是突然感觉好像知道了梯度下降干嘛的了，今日宜赞、收藏）

问题三： 梯度为啥要下降？

你如果能回答这个问题基本看书上梯度下降一些公式就清楚很多了。

解： 依题意可得

1. 翻译问题。 ☞按照问题一的解决方法可知： 我们将“梯度为啥要下降？ ”这个问题翻译为： 找误差函数最小值所对应的自变量，为啥要让导数的绝对值变小。 我们看下图这个二次函数对应曲线就是误差函数（也就是损失函数，一般是叫损失函数，误差函数是我为了好理解说的），自变量是算法的参数，函数值是该参数下所产生拟合曲线与真实值之间的误差值。 注意了，注意了，注意了： 一般你看到梯度下降的公式最好想到下面这个图，对就假设误差函数就这么特殊，都是开口朝上，都是平滑的，都是只有一个导数为0的点，都是弯一下而不是弯很多下。

1. 平常我们怎么求损失函数（误差函数）最小值？ ☞我们目标是求这个损失函数（误差函数）最小值时候对应自变量的值，也就是求曲线最低点自变量x的取值。 用高中知识怎求最小值？ 老师说了求最值不要怂，上来求个导，然后让导函数为0时候取最值。 告诉你还真就可以这么干的，简单粗暴。 不过这个方法不是梯度下降， 它有个很高端大气上档次的名字叫做 正规方程（Normal Equation） ，吓到了吧这么简单的原理居然名字这么高端，所以嘛梯度下降也差不多就名字吓人而已。 但是为啥这么简单粗暴容易理解，为啥还要用梯度下降呢？ 因为一般来说越简单粗暴的方法效率越低~，正规方程在数据量大时候太慢了， 就像冒泡排序那么简单为啥排序算法一般不用冒泡排序一样。 敲重点了>>> 梯度下降和这个原理类似见下面

2. 梯度下降怎么求损失函数（误差函数）最小值？ ☞假如你拿着手机地图不用导航去找一个目的地怎么走？ 我一般是往某个方向走一段路程，然后发现好像离目的地近了，然后产生一个想法 “这个方向能使得我离目的地距离更小” ，然后我继续沿着这个方向走。 （你就会疑问该不会梯度下降就这么做的吧，没错就是这么做的）。

注意了，注意了，注意了： 一般你看到梯度下降的公式最好想到下面那个图，对就假设误差函数就这么特殊，都是开口朝上，都是平滑的，都是只有一个导数为0的点，都是弯一下而不是弯很多下。（哈哈怕你记不得，复制粘贴一遍）

想象下：

按照上面那个图的特点，假设这个图放大1万倍，大到你不能一眼看到最小值。 那么要你找最小值对应的自变量x，你怎么找？ ？ 记住我们目的是为了找自变量x,记住我们目的是为了找x

你将可能会在电脑屏幕看到原先那个图的局部，按照它们单调性来分主要有这三种情况

当你遇到 情况1： 单调下降，导数为负（梯度为负），要想找到函数的最小值所对应的自变量的值（曲线最低点对应x的值）怎么走？ 当然是水平向右滑啦，也就是让x增大， 此时随着x增大，导数（梯度）的绝对值是减小的（梯度下降含义懂了吧哈哈就这个意思）

当你遇到 情况2： 单调上升，导数为正（梯度为正），要想找到函数的自变量的值（曲线最低点对应x的值）怎么走？ 当然是水平向左滑啦，也就是让x减小， 此时随着x减小，导数（梯度）的绝对值是减小的（也就是梯度下降）。

综上所述：

1. 梯度就是导数

2. 梯度下降作用是找到函数的最小值所对应的自变量的值（曲线最低点对应x的值）。 记住我们目的是为了找x.

3. 梯度下降含义（具体操作）是 ： 改变x的值使得导数的绝对值变小，当导数小于0时候（情况1），我们要让目前x值大一点点，再看它导数值。 当导数大于0时候（情况2），我们要让目前x值减小一点点，再看它导数值。 当导数接近0时候，我们就得到想要的自变量x了。 也就是说找到这个算法最佳参数 ，使得拟合曲线与真实值误差最小。 （理解这段话，就不用硬背公式啦）

本文经授权转载自 知乎@司南牧，原文链接： https://zhuanlan.zhihu.com/p/43452377，也可点击【阅读原文】

封面图来源： Photo by Andrew Neel on Unsplash