懂一点物理的人工智能

作者丨庞龙刚

单位丨UC Berkeley博士后

研究方向丨高能核物理、人工智能

前段时间写了篇文章推介机器人动力学中的深度拉格朗日网络 ，得到出奇多的点赞。后来想起来，这应该是我第三次见到类似的研究。这类研究有个共同的名字—— 懂物理的深度学习 。英文为 Physics Informed Deep Learning 或者叫 Physics-guided deep learning。 

前两次见到是在劳伦斯伯克利国家实验室。第一次是 Northeastern University 的 Rose Yu 女士到实验室给报告，介绍如何使用深度神经网络替换掉物理模型中的一个子模块，从而可以对各种地形预测无人机马达与环境之间形成的湍流干扰，使得无人机近地起飞和降落时更加稳定。第二次是 Brown University 的陆路博士在 Machine Learning for Science 会议上以海报的形式展示了他们的 DeepXDE 库，这个库使用深度神经网络数值求解偏微分方程，这种方法里，微分方程已知，初始条件，边界条件已知，目标是求解一个方程 让它满足所有这些条件。

DeepXDE 使用神经网络来近似偏微分方程的解 ，其中 θ 是网络参数，时间 t，坐标 是网络的输入。 优化目标是最小化对待求方程，初始条件和边界条件的破坏程度。 机器人动力学中的深度拉格朗日网络更接近 Rose Yu 的那个报告，即用深度神经网络替换物理模型中无解析解（甚至无数值解）的那部分，使得物理模型更健壮。  

这篇文章介绍一下 Physics Informed Deep Learning 的 原始文献 和 随机抽选的文章 ，看一下这类研究的方式以及可能的应用场景。

Physics Informed Deep Learning

这篇文章 [1] [2] 提出两个动机：1）使用数据驱动的方法得到偏微分方程解；2）数据驱动定偏微分方程各项的系数。

这两个动机完美的体现在使用神经网络求解 Burgers 方程的例子中。Burgers 方程在流体力学，非线性声学，气体动力学和交通流中有很多应用场景。对应 NS 方程无压强梯度时流速满足的方程。剪切粘滞很小时，导致激波产生，数值解比较难。方程形式如下：

这个方程里的解是 u(t,x)， 函数形式未知。 是 u 对时间 t 的一阶微分， 和 分别是 u 对坐标 x 的一阶与二阶微分。 Burgers 方程的系数 与系统的耗散有关。  

Physics Informed Neural Network 是如下这个函数 f：

使用神经网络来近似方程的解  u(t,x, θ ) ，而这个解又满足 Burgers 方程。所以这里类似有两个神经网络，外层神经网络有两个参数 ， 内层神经网络参数是 θ 。 训练目标是最小化如下损失函数：

其中第一项要重现测量到的数据 ，第二项学习 Burgers 方程的系数。  

下方是训练结果。第一行是测量到的高噪声训练数据。第二行是神经网络预测值与精确解的对比。表格第一行是 Burgers 方程的精确形式，第二行是用干净数据约束出的 Burgers 方程的，第三行是用加入 1% 噪声的数据约束出的 Buregers 方程。

在这篇文章里，偏微分方程的形式已知，解的物理测量已知，解析解未知，系数未知，神经网络通过监督学习得到了近似的解析解和偏微分方程的系数。  

在随后的一篇文章中 [3] ，作者进一步放松限制，假设偏微分方程形式未知，通过 L1 正规化（sparse regression) 来敲掉系数为零的微分算子。其假设的偏微分方程形式如下：

Deep Galerkin Method [7]

之前的方法是通过测量值来约束 u 和偏微分方程的系数，属于监督学习。在参考文献  [7] 中，作者使用了非监督学习。问题是使用神经网络求如下偏微分方程的解：

上述三行方程中，第一行是偏微分方程，第二行是初始条件 (t=0)，第三行是边界条件 (∂Ω)。时间 t 的范围是 [0, T] ，坐标 x 的范围是 Ω 。神经网络近似解 f (t,x, θ ) 由最小化如下误差函数得到：

也就是之前描述的，神经网络近似解要（1）满足方程本身（2）满足边界条件 （3）满足初始条件。 

这篇文章强调的一个创新是 mesh-free。这在解高维偏微分方程的时候非常重要，因为假设一个方向的 mesh 有 100 个格子，3 维空间就有 100 万个格子，更高维的时候格子数爆炸性增长。 

如果使用梯度下降，计算 J(f) 要对整个时间，空间积分，基本不可能。如果使用深度学习训练时的随机梯度下降，则可以每次抽样一批随机坐标，分批次的更新神经网络参数 θ 。 

注意，损失函数中 和 Lf(t,x; θ ) 中的一阶微分项都可以用 Tensorflow 或 Pytorch 的自动微分完成。 而二阶微分计算起来比较耗时，本文用蒙特卡洛方法近似，详细情况读论文。  

虽然这篇文章起名叫 Deep Galerkin Method 方法，但其实跟 Galerkin 没什么关系。我所了解的 Galerkin 类似于有限元算法，在非常大的格子与时间步长上，对偏微分方程的解用一些正交函数展开，来近似坐标依赖和时间依赖。

个人思考

Deep Galerkin Method 或 DeepXDE 能够给出复杂偏微分方程的近似解，通过这个解对方程，边界条件和初始条件的破坏，能够判断神经网络近似的程度有多高。在这种情况下，新的基于神经网络的方法应该可以用来验证传统方法的数值误差，比如因差分近似带来的数值粘滞等。我看到同时求解爱因斯坦场方程，麦克斯韦方程，流体力学方程来描述中子星融合释放引力波的曙光。这种方法可能是所有数值解里最简单直接暴力的方法了。 

当然，这种解偏微分方程的方法，训练一次应该只对一个特定的初始条件有效。像我们做相对论流体力学，每次都要从一个不同的初始条件出发，观察系统的演化，应该需要将这种方法进一步改进。 

下面参考文献的最后两篇，一篇做无人机径迹的非线性控制，一篇解机器人动力学中的逆问题，都是 Physics Informed Deep Learning 极好的应用场景。

参考文献

[1] Physics Informed Deep Learning (Part I): Data-driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations, 2017, Maziar Raissi,Paris Perdikaris,George Em Karniadakis

[2 ] Physics Informed Deep Learning (Part II): Data-driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations, 2017, Maziar Raissi,Paris Perdikaris,George Em Karniadakis 

[3 ] Deep Hidden Physics Models: Deep Learning of Nonlinear Partial Differential Equations, 2018, Maziar Raissi

[4 ] Physics-guided Neural Networks (PGNN): An Application in Lake Temperature Modeling, 2017, Anuj Karpatne∗ [email protected] William Watkins† [email protected] Jordan Read† [email protected] Vipin Kumar∗ [email protected], all from University of Minnesota

[5 ] How can Physics Inform Deep Learning Methods in Scientific Problems: Recent Progress and Future Prospects，slides 2017, Anuj Karpatne, PostDoc @ University of Minnesota 

[6 ] Papers that cited "Physics informed Deep Learning"

[7 ] Deep Galerkin Method -- A deep learning algorithm for solving partial differential equations， 2018， Justin Sirignano∗ and Konstantinos Spiliopoulos

[8 ]  Towards Physics-informed Deep Learning for Turbulent Flow Prediction，2019， Rui Wang,Karthik Kashinath,Mustafa Mustafa,Adrian Albert,Rose Yu 

[9 ] Neural Lander: Stable Drone Landing Control using Learned Dynamics，2019， Guanya Shi, Xichen Shi, Michael O'Connell, Rose Yu, Kamyar Azizzadenesheli, Anima Anandkumar, Yisong Yue, Soon-Jo Chung

[10 ] Deep Lagrangian Networks: Using Physics as Model Prior for Deep Learning，2019，Michael Lutter, Christian Ritter, Jan Peters

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