梯度下降法的简单介绍以及实现

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。假设这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e.找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那幺此时应该是朝着最陡峭的方向往上走。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

在这种就情况下,我们也可以假设此时周围的陡峭程度我们无法用肉眼来测量,需要一个复杂的工具来帮助我们测量,恰巧的是此人正好拥有测量最陡峭方向的能力。因此,这个人每走一段距离，都需要一段时间来测量所在位置最陡峭的方向，这是比较耗时的。那幺为了在太阳下山之前到达山底，就要尽可能的减少测量方向的次数。这是一个两难的选择，如果测量的频繁，可以保证下山的方向是绝对正确的，但又非常耗时，如果测量的过少，又有偏离轨道的风险。所以需要找到一个合适的测量方向的频率，来确保下山的方向不错误，同时又不至于耗时太多！

梯度下降

梯度下降的过程就如同这个下山的场景一样。

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向(在后面会详细解释) 所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

首先梯度是什幺?

梯度实际上就是多变量微分的一般化。 下面这个例子：

我们可以看到，梯度就是分别对每个变量进行微分，然后用逗号分割开，梯度是用<>包括起来，说明梯度其实一个向量。

梯度是微积分中一个很重要的概念，之前提到过梯度的意义

在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率

在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

这也就说明了为什幺我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那幺梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的方向一直走，就能走到局部的最低点！

梯度下降算法的数学解释

上面我们花了大量的篇幅介绍梯度下降算法的基本思想和场景假设，以及梯度的概念和思想。下面我们就开始从数学上解释梯度下降算法的计算过程和思想！

此公式的意义是：J是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们先确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是α，走完这个段步长，就到达了Θ1这个点！

下面就这个公式的几个常见的疑问：

α是什幺含义？ α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！

为什幺要梯度要乘以一个负号？ 梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号

梯度下降算法的实现

下面我们将用python实现一个简单的梯度下降算法。场景是一个简单的线性回归的例子：假设现在我们有一系列的点，如下图所示

我们将用梯度下降法来拟合出这条直线！

首先，我们需要定义一个代价函数，在此我们选用均方误差代价函数

此公示中

m是数据集中点的个数

½是一个常量，这样是为了在求梯度的时候，二次方乘下来就和这里的½抵消了，自然就没有多余的常数系数，方便后续的计算，同时对结果不会有影响

y 是数据集中每个点的真实y坐标的值

h 是我们的预测函数，根据每一个输入x，根据Θ 计算得到预测的y值，即

我们可以根据代价函数看到，代价函数中的变量有两个，所以是一个多变量的梯度下降问题，求解出代价函数的梯度，也就是分别对两个变量进行微分

明确了代价函数和梯度，以及预测的函数形式。我们就可以开始编写代码了。但在这之前，需要说明一点，就是为了方便代码的编写，我们会将所有的公式都转换为矩阵的形式，python中计算矩阵是非常方便的，同时代码也会变得非常的简洁。

为了转换为矩阵的计算，我们观察到预测函数的形式

我们有两个变量，为了对这个公式进行矩阵化，我们可以给每一个点x增加一维，这一维的值固定为1，这一维将会乘到Θ0上。这样就方便我们统一矩阵化的计算

然后我们将代价函数和梯度转化为矩阵向量相乘的形式

三种梯度算法的代码实现

导入函数包

import numpy as np
# 操作系统
import os
%matplotlib inline
# import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np

批量梯度下降求解线性回归

首先，我们需要定义数据集和学习率 接下来我们以矩阵向量的形式定义代价函数和代价函数的梯度 当循环次数超过1000次，这时候再继续迭代效果也不大了，所以这个时候可以退出循环！

eta = 0.1
n_iterations = 1000
m = 100
theta = np.random.randn(2,1)
for iteration in range(n_iterations):
    gradients = 1/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)
    theta = theta - eta*gradients
theta_path_bgd = []
def plot_gradient_descent(theta, eta, theta_path = None):
    m = len(X_b)
    plt.plot(X, y, "b.")
    n_iterations = 1000
    for iteration in range(n_iterations):
        if iteration < 10:
            y_predict = X_new_b.dot(theta)
            style = "b-"
            plt.plot(X_new,y_predict, style)
        gradients = 2/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)
        theta = theta - eta*gradients
        if theta_path is not None:
            theta_path.append(theta)
    plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18)
    plt.axis([0, 2, 0, 15])
    plt.title(r"$\eta = {}$".format(eta),fontsize=16)
np.random.seed(42)
theta = np.random.randn(2,1)
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(131);plot_gradient_descent(theta, eta=0.02) #一排三个 第一个
plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)
plt.subplot(132);plot_gradient_descent(theta, eta=0.1, theta_path=theta_path_bgd ) #一排三个 第二个
plt.subplot(133);plot_gradient_descent(theta, eta=0.5)
save_fig("gradient_descent_plot")

随机梯度下降

theta_path_sgd = []
m = len(X_b)
np.random.seed(42)
n_epochs = 50
theta = np.random.randn(2,1) #随机初始化
for epoch in range(n_epochs):
    for i in range(m):
        if epoch == 0 and i < 10:
            y_predict = X_new_b.dot(theta)
            style = "b-"
            plt.plot(X_new,y_predict,style)
        random_index = np.random.randint(m)
        xi = X_b[random_index:random_index+1]
        yi = y[random_index:random_index+1]
        gradients = 2 * xi.T.dot(xi.dot(theta)-yi)
        eta = 0.1
        theta = theta - eta * gradients
        theta_path_sgd.append(theta)
        
plt.plot(x,y,"b.")
plt.xlabel("$x_1$",fontsize = 18)
plt.ylabel("$y$",rotation =0,fontsize = 18)
plt.axis([0,2,0,15])
save_fig("sgd_plot")
plt.show()

小批量梯度下降

theta_path_mgd = []
n_iterations = 50
minibatch_size = 20
np.random.seed(42)
theta = np.random.randn(2,1)
for epoch in range(n_iterations):
    shuffled_indices = np.random.permutation(m)
    X_b_shuffled = X_b[shuffled_indices]
    y_shuffled = y[shuffled_indices]
    for i in range(0, m, minibatch_size):
        xi = X_b_shuffled[i:i+minibatch_size]
        yi = y_shuffled[i:i+minibatch_size]
        gradients = 2/minibatch_size * xi.T.dot(xi.dot(theta)-yi)
        eta = 0.1
        theta = theta-eta*gradients
        theta_path_mgd.append(theta)

三者的比较图像

theta_path_bgd = np.array(theta_path_bgd)
theta_path_sgd = np.array(theta_path_sgd)
theta_path_mgd = np.array(theta_path_mgd)
plt.figure(figsize=(7,4))
plt.plot(theta_path_sgd[:,0], theta_path_sgd[:,1], "r-s", linewidth = 1, label = "Stochastic")
plt.plot(theta_path_mgd[:,0], theta_path_mgd[:,1], "g-+", linewidth = 2, label = "Mini-batch")
plt.plot(theta_path_bgd[:,0], theta_path_bgd[:,1], "b-o", linewidth = 3, label = "Batch")
plt.legend(loc="upper left", fontsize = 16)
plt.xlabel(r"$\theta_0$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"$\theta_1$", fontsize=20, rotation=0)
plt.axis([2.5,4.5,2.3,3.9])
save_fig("gradients_descent_paths_plot")
plt.show()