深入理解计算机系统cp2：定点数的表示和运算

在 深入理解计算机系统cp1：存储单位、数制、编码 中解释了字符编码，我们知道了计算机是怎么把字符转化为二进制的；本文将解释数字编码，介绍计算机如何把数字转化为二进制，以及相关的运算问题。

1.定点数的表示

1.1 无符号数

• 定义：无符号数就是没有体现正负号的数（这意味着所有的无符号数实际上都是正数），整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位。以 108D 为例，它对应的二进制数是 1101100 ，这实际上也就是它的无符号数，可以看到所有的位都是数值位。
• 表示范围：以八位二进制数为准，范围就是 00000000 到 11111111 ，也就是 0 到 255

1.2 有符号数

• 定义：有符号数就是有体现正负号的数，整个机器字长的全部二进制位中，最高位作为符号位，0 表示正数，1 表示负数，其余位则是数值位。依然以 108D 为例，它对应的二进制数是 1101100 ，而对应的有符号数则要在最前面加上符号位 0，即它的有符号数是 01101100 .

• 表示范围：以八位二进制数为准，范围应该是从负数到正数，即从 11111111 到 01111111 ，也就是 -127 到 127

1.2.1.真值和机器数

• 真值：就是带有正负号的实际十进制数，比如上面例子中， +108D 就是真值
• 机器数：机器数就是一个数在计算机中的二进制表示形式，注意 机器数是由符号位和数值位 构成的，比如上面例子中， 01101100 就是机器数。

-156D （真值）= 110011100B (机器数)

1.2.2.原码、反码、补码和移码

(1)原码表示法

简单点理解，原码就是符号位加上真值（二进制）的绝对值，同时用逗号将符号位和数值位隔开。比如，+1 就是 0,0000001 ，-1 就是 1,0000001 。

原码的特点是简单、直观，但是原码在进行加法运算的时候会出现问题。正数加正数或者负数加负数是正常的，但是正数加负数就会出错。比如我们现在想要计算 -1+3，我们心想：-1 是 10000001 ，+3 是 00000011 ，加起来得到的是 10000100 ，所以结果是 -4，但 -1+3 应该是等于 2，所以这个结果是错的。我们发现，本来应该做的是加法运算，但实际上变成了减法运算（-1-3=-4）。

我们首先想到，可以通过将“正数加负数”转化为“正数减正数”来手动纠正这个错误。上面的例子就变成 00000011 减 00000001 ，结果是 00000010 ，也就是 2，这个结果是正确的。

但是每次都这样手动转化，计算起来还是太麻烦了。于是我们接着想：有没有一种方法，可以让“正数加负数”中的 负数等价于一个正数 ，从而确保始终进行的是相加操作呢？

于是这时候就引出了补码的概念。

(2)补码表示法

• 补数和模：理解补码之前，我们先来理解两个概念： 补数 和 模 。

  拿时钟举例，想要从10点拨到8点，有两种做法，一种是逆时针拨2个单位，记作-2；一种是顺时针拨10个单位，记作+10，这两种操作是等效的(有点 负数等价于一个正数 的意思)。这时候我们就说，-2 是 +10 以 12 为模的补数，记作 -2≡+10(mod 12) ，同理，-5 相当于 +7，-4 相当于 +8。

• 那么怎么基于补数和模的概念将“正数加负数”转化为“正数加正数” —— 即怎么令 负数等价于一个正数 呢？假设我们现在有一个寄存器可以存放四位二进制数（此时，模为16），我们想要让 1011 变成 0000 ，最容易想到的办法就是 1011-1011=0000 ，注意这里是正数加负数。想要变成正数加正数，就要找到等价于 -1011 的正数， -1011 就是 -11，-11 以 16 为模的补数就是 +5，+5 就是 +0101 ，这个正是我们要找的那个等价正数，因此这时候， 1011-1011 变成了 1011+0101 ，其结果是 10000 ，不要忘了寄存器只能存放四位，所以结果其实是 0000 ，恰好与我们“正数加负数”时得到的结果无异。

• 接着引入补码的概念：

  • 对于正数：正数的补码和原码相同；
  • 对于负数：负数的补码等于其原码在保持符号位不变的情况下，其余各位取反，末位加一（取反加一）。 注意 ，补码的补码等于原码，这可以用来根据补码求原码。
  • 也可以用下图方法计算补码：
    

还是上面的例子， 1011-1011 ，也就是11-11，我们考虑+11和-11，+11的原码=补码= 01011 ，-11的原码是 11011 ，因此补码是 10101 ，那么 01011+10101 就会等于 100000 ，因为寄存器是五位的，把前面的1去掉，那么结果就是 00000 ，也就是0，和上面的运算结果一致。

(3)反码表示法

反码很好理解：

• 正数：反码等于原码等于补码；
• 负数：反码等于原码保持符号位不变的情况下其余各位取反。也就是说，补码=反码+1
• 反码的反码等于原码，这可以用来根据反码求原码。

(3)移码表示法

补码存在的问题是，仅从补码本身来看，很难比较两个数的大小，为此引入了移码的概念。移码指的是在真值（二进制）的基础上加上一个偏移量，通常这个偏移量是2^n。其中，n是数值位的位数。

例如，对于 -10101 ，其移码是 2^7+(-10101)=10000000+(010101)=0,1101011 。