谈谈 100 层会碎的两颗玻璃球

问题

有这样一道经典面试题（据说曾被纳入谷歌校园招聘题库），大意为有一栋100层高的大楼，已知从某一层起，玻璃球下落一定会碎，现给你两颗这样的玻璃球，如何用最少的试验次数，确定玻璃球在哪层刚好会碎。

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笔者曾在算法工程师笔试阶段遇到这一问题时，不假思索地认定这是考察对时间复杂度的理解，内心暗鄙这有何难，一时喜上眉梢，大笔一挥，写下了二分法查找的答案。

转念一想，不对啊，第一次放在50层试，如果碎了，第二次放25层再丢，也碎了，还没找到临界层，“球球”没了可咋整？（？？？）当即就将已经写好的答案叉掉，因为我已清楚地知道，二分法查找于此处只是个温柔的陷阱…

那这道题究竟该作何解？一层一层往上加着试，肯定是找得到的。这样的做法对应遍历查找，时间复杂度O(n)，在此场景下最坏情况对应99次（因为已知100层一定碎）…可未免过于简单粗暴，仔细想想用一颗球也就够了，更加与“用最少试验次数”的要求相背离。

出题人给了你两颗肯定有他的道理，如何利用好两颗球呢？不妨换一个思路，其中一颗粗略确定范围，另一颗精确锁定临界层（可以参考高中物理课上接触到的螺旋测微器，有粗调和微调的分工合作）。有道是：碎掉一颗也不愁，还有备用玻璃球。

第一颗（后文称“球一”）用来做炮灰，假定每多少层丢下（粗调），如果碎掉，第二颗球（后文称“球二”）在碎掉前一次丢球的层数和碎掉的层数之间再逐一尝试（微调）。现在的问题变成了如何确定丢球的层数间隔。对算法有一定了解的伙伴都知道，时间复杂度的求解考虑的是最坏的情况，假设 间隔层数为x ， 找出临界层所需的至多试验次数f(x) 的表达式为：

ceil表示天花板除，向上取整（例ceil(5.5)=6; ceil(5)=5）。求 x+c/x （x为自变量，c是常数）的最小值相信大家都不陌生，当x = c/x = √c 时，有最小值2√c。除求导可证外，这里讲另外一种证明。已知x和常数c均为正值，有:

故此处（c=100），x=10即每十层丢球一，可使方案为每固定层数做范围尝试之下最优，至多的试验次数为18次（球一10, 20…90层9次，球二试91-99层9次）。

问题至此似乎已被解决，甚至还有简明易懂且严谨的数学证明，但…我们忽略了一个问题，那就是概率或者叫运气，对于结果的影响。整个问题的精髓，也就在这里。

机智如你可能已经看出来了，上述的结果是不确定的，试验总次数在2-18波动，而最坏的情况也会随着临界层的变大而增加试验次数（临界层在1-10层至多只需试验10次，而在90-100层则可能需18次）。当丢球一的间隔层数x增大时，会让球二定位临界层的次数增加，但球一测大段范围的次数相应减少。能不能找到一种动态的间隔层数，使最终的试验次数达到一种平衡， 平衡的直接体现就是临界层无论在哪一段，最坏情况下的试验次数 相等 ！ 通过如下简图可以看出，总次数 = 球一尝试次数+球二精准定位次数，而球一每向上走一段，若想保证总次数相同， 则需球二少定位一次，即每一段包含层数递减一层 ！那么有：

计算得：x ≥ 14，所以采用该方案球一第一次放到14层丢下来，第二次放到第27层（14+13）丢下来，以此类推，可以保证最多14次就可以试出哪一层刚好丢下来会碎。该方案小于上一方案平均分段产生的最坏情况18次！

层高100和仅有两颗球限制条件下的确定临界层高问题，至此就告一段落了，其实只要稍稍修改一下条件（譬如给你三个球或更多），就可以衍生出许多变式问题，在此就不展开详细讨论了。鉴于本文是笔者的公众号处女作，难免有许多不成熟的地方，欢迎广大读者批评指正（指正可以，批评不接受，就酱）。

写在最后

笔者是材料工程&材料化学背景出身，你要是想跟我讨论为啥玻璃球99层没碎而100层碎了，我或许会从选材或者材料强度的维度说说对问题的理解，说不定还能给你一些建议让球球回个炉变得100层下落也不碎。材料陈冠希，童叟亦无欺；转行大数据，你上你也行。下期见！

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