比特币的公钥算法

前面我们一起学习了 《比特币的私钥是怎么产生的》 ，今天我们再来学另一个重要的概念——公钥。

比特币的公钥和私钥是一对秘钥对，你用私钥签名的交易（transaction），可以通过公开的公钥进行验证，以此保证私钥不被泄露出去。这种用一把秘钥签名，再用另一把秘钥对其验证的方式，被称作非对称加密算法。在比特币中，这种算法有一个独特的名字——椭圆曲线算法，如下图所示

椭圆曲线

椭圆曲线的定义非常简单，满足下面公式的所有坐标的集合，就是我们所说的椭圆曲线

上面公式中，是取余符号，而 是一个很大的素数，到这一步，公式中就只剩下自变量和因变量了，你完全可以把它看成初中学过的二元多次函数，不过，并不是所有实数都满足这个曲线，所以实际上椭圆曲线是一个散点图，下图是当为17时，满足上述公式的图形：

spec256k1 椭圆曲线

实际上，取不同的素数，椭圆曲线会呈现出完全不同的形态，越大，这个椭圆也就越大，可承载的数值范围也就越大，冲突率会降低，乃至于更安全，所以出于安全性考虑，比特币中采用的是一个特定的椭圆曲线，我们叫它 spec256k1 ，它是由 NIST（National Institute of Standards and Technology）这个组织确定的。

刚才说是一个很大的素数，那么 spec256k1 所选的有多大呢？我们可以看一下

p = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663

接着，我们再在  spec256k1  椭圆上选一个点

x = 55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240
y = 32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424

把该点中的和带入上面的公式中，看等式两边是否成立：

Python 2.7.10 (default, Jul 15 2017, 17:16:57)
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 9.0.0 (clang-900.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> x=55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240
>>> y=32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424
>>> p=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663
>>> (x**3+7)%p - y**2%p
0L

上面是我用 Python 算出的结果，可以看到结果符合预期。

椭圆曲线运算

上面我们已经认识了椭圆曲线，它看上去很有趣，但我觉得更有趣的是椭圆曲线的运算，公钥的算法就是运用了这些基本运算：

1. 加法运算

2. 无限点（point at infinity）定义

3. 乘法运算

加法

在椭圆曲线上，任意两个点的连线会和曲线上的第三个点相交，如果前两个点重合，那么这条线为该点上的切线，有了这个条件后，我们就可以定义椭圆曲线的加法操作了

椭圆曲线上，任意两点与相加，等于曲线上另外一个点，设和  的连线（或切线）与曲线上相交的点为，则和关于轴对称。

接下来我们举个例子，假设椭圆曲线上有一个点，和分别是点的坐标和坐标，则 在椭圆曲线上的点如下图所示：

P的切线和曲线相交于P1'(c,d)，则P1'关于x轴的映射就是我们要求的P1(c,-d)

无限点（point at infinity）

无限点（point at infinity）的概念存在的原因是：可能存在两点的连线正好和轴垂直的情况，这时就不会有与曲线相交的另外一个点了，这种情况下，规定该点为无限点。

同时，无限点和任意一个点相加，仍然是。例如：假设是无限点，那么

从这个角度来看，无限点又具备了的特性。

乘法

如果椭圆曲线的加法和无限点的概念刷新了你的认知，那么乘法就亲切很多，它和我们所熟知的代数中的乘法并无差异：乘法就是加法的展开式，假设点是椭圆曲线上的一个点，那么

产生一个私钥

有了以上的基础，我们才可以来计算公钥，产生公钥的算法其实就是椭圆曲线上的乘法运算：

上面公式中，是椭圆曲线上的一个点，且这个点在比特币中是固定不变的；是我们的私钥，上一篇中我们已经知道了私钥是一个很大的随机数；而结果就是我们产生的公钥，根据上面的知识，可以知道公钥是个相加的结果，这个结果仍然是椭圆上的一个点

上图是一个公钥产生的示意图，如果你能看懂，恭喜你，你已经掌握了公钥的生成算法。

总结

本文我们一起学习了公钥是如何计算出来的，它背后的原理也很简单，即是利用了椭圆曲线中的基本运算法则，掌握了这些知识后，给你一个私钥，你自己也可以算出其对应的公钥了。

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