JavaScript 中数字的底层表示

至今 JavaScript 已经有6 种基本类型 了，其中数字类型（Number）是表示数字的唯一方法。 目前其标准维护在 ECMA262 ，在 JavaScript 语言层面不区分整数与浮点、符号与无符号。 所有数字都是 Number 类型，统一应用浮点数算术。 由于 JavaScript 中无法访问低层的二进制表示，而且 64 位可表示范围非常大，不容易遇到和了解到边界情况。 这篇文章对 JavaScript Number 的二进制表示进行简要的介绍，主要明确使用者观察到的边界， 解释 MAX_VALUE , MIN_VALUE , MAX_SAFE_INTEGER , MIN_SAFE_INTEGER , EPSILON 这些常量取值的原因；回答 POSITIVE_INFINITY , NEGATIVE_INFINITY , NaN 这些常量的表示方法。

二进制表示

JavaScript 数字占 64 位，与 C++ 中的 double 类型一样，采用 IEEE 754 规范的 双精度浮点数 。 字节分配如下图，从高位到低位依次是一个符号位（sign）、11个指数位（exponent）、52个分数位（fraction）。

这样一个数字它的值等于：

为方便讨论，下文使用简写：

为了表示负的指数，指数部分存在一个偏移量 -1023 。 对于非零值第一位有效位始终为 1，因此二进制表示中省略了这个 1，分数位分别表示 1/2, 1/4，1/8，…。 上式表示的浮点数称为 normal number ， 特殊值（ 0 , NaN , Infinity ）和 subnormal number 不同于上述公式， 见下文。

normal number

语法：指数部分 $1 \leq e \leq 2046$ 的值会被解析为 normal number 。 0 和 2047 分别被用于 subnormal number 和特殊值，见 下文 。

概念： normal number 只表示非零值， 并规定省略第一个非零的 1 ，significant（有效位数）部分可以多一位精度。 指数部分的最大值为 2046，因此 normal number 的最大值 （也是 Number 的最大值 ， Number.MAX_VALUE 的值）为：

最大最小值

这个最大值略小于 $2^{1024}$，相差 $2^{971}$。 Math.EPSILON 表示大于 1 的最小浮点数与 1 的差， 它的值等于：

normal number 的最小值（也是 Number 的最小值 ， Number.MIN_VALUE 的值） 为上述最大值的负值，只变化符号位：

normal number 的指数部分最小值为 1， fraction 部分最小为 0，significant（有效位数）部分最小为 1， 因此 normal number 能够表达的最小正数为：

注意后四位小数是 2014 哈哈，normal number 能够表达的最大负数也是上面的大小，符号位变负。

整数的表示

此外，所有非零整数都属于 normal number，它们的指数部分刚好能够把所有分数移出到小数点左侧，数学地表示为：

其中 $l$ 为最后一个非零的分数下标，第一位分数 $l = 1$。 最大的安全整数 （即 Number.MAX_SAFE_INTEGER 的值）为：

反之， 最小的安全整数 （即 Number.MIN_SAFE_INTEGER 的值）为：

之所以称为最大安全整数，是因为它的每一位都未被四舍五入 （JavaScript Number 实现的浮点数 Rounding 策略是 Round to nearest, ties to even ）。 这意味着这个整数是准确的，再大就不准了，例如：

console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER);
// sign=0, fraction=9007199254740991（52个1）, e=1023+52
// 输出 9007199254740991

console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER+1);
// sign=0, fraction=0（全0）, e=1023+53
// 输出 9007199254740992，这个值是准确的，但它对应两个整数：2^53, 2^53+1，见下一个例子

console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER+2);
// sign=0, fraction=0（全0），e=1023+53
// 输出 9007199254740992

Number.MAX_SAFE_INTEGER+2 是一个奇数，因为缺少一个二进制位不存在精确表示。 可选 fraction=1（最低位为1），或 fraction=0（全0），根据 ties to even 策略，选择 0 让值变成偶数。 与 ties to even 对应的还有 ties to odd 策略，为什么不用四舍五入呢？ 因为这样 5 总是“入”的，在累加时会放大误差；绑定到最近的奇数或偶数则会两两抵消，避免误差放大。

subnormal number

语法：指数部分 $e = 0$，且分数部分 $fraction \neq 0$ 的值会被解析为 subnormal number 。

概念：normal number 省略前导的 1 虽然能够多一位有效位数， 但首位有效数字必须为 1 也限制了最小正数的大小。 subnormal number 就是来弥补 0 与 1 之间的取值的。 它规定指数部分全零且没有前导 1，但计算时采用 -1022 作为指数（等效 e=1）， 一个 subnormal number 的值由以下公式给出：

因此 最大的 subnormal number 为：

它与最小的正 normal number（$2^{-1022}$）相差 $2^{-1074}$。 最小的 subnormal number 与它大小相同，符号为负。

最小的正 subnormal number（也是 Number 能够表示的最接近 0 的数值），它的值为：

spetial values

0

语法：指数部分 $e = 0$，且分数部分 $fraction = 0$ 的值会被解析为零。

概念：根据 $sign$ 的取值，有 $+0$, $-0$ 两种 0 的表示。

Infinity

语法：指数部分 $e = 11111111111_2$，且分数部分 $fraction = 0$ 的值会被解析为 $\infty$。

概念：根据 $sign$ 的取值，有 Number.NEGATIVE_INFINITY , Number.POSITIVE_INFINITY 两个值。

NaN

语法：指数部分 $e = 11111111111_2$，且分数部分 $fraction \neq 0$ 的值会被解析为 NaN 。

概念：由于不限定分数部分取值， NaN 值有很多种表示。

符号位可以取任意值（$2$ 种），分数只是不可取零（$2^{52} - 1$）， 因此共有 $(2^{52}-1)\times 2 = 2^{53} - 2$ 种。

一些讨论

Number 一共多少种值？

Number 使用64位双精度浮点数实现，根据指数部分的值来区分不同的表示法。

• 指数为 0
  • 分数为 0 表示 0，正负共 $2$ 个
  • 分数不为 0 表示 subnormal numbers，共 $(2^{52}-1)\times 2 = 2^{53} - 2$ 个
• 指数为 2047（全1）

  NaN
  

• 指数为其他值，表示 normal numbers，共 $2 \times 2^{52} \times (2^{11}-2) = 2^{64} - 2^{54}$ 个

加起来共有 $2^{64}$ 种值（当然 64 位嘛），减去重复的 NaN （$\pm 0$ 是不重复的，它们作除数时会分别得到 $\pm \infty$）， Number 能够表示的不重复的值 有：

Number 精度到底如何？

所以 浮点数的精度如何 呢？精度取决于连续两个双精度浮点数之间的差，这个差取决于指数的大小。

• 对于 normal number（绝对值大于等于 $2^{-1022}$）来讲，指数越大（通常数字越大）精度越小，1 附近的精度由 Number.EPSILON 给出（见上文）；
• 对于 subnormal number（绝对值小于 $2^{-1022}$）来讲，指数是固定的，精度是确定的 $2^{-1074}$；

Number 转换为 32 位整数

虽然 Number 都适用浮点数运算（Floating point arithmetic），但有些运算符和方法只支持 32 位整数。 这时会进行JavaScript 类型转换， 这于 << , >> , >>> , | , & , parseInt() , Atomics.wait() 等操作， 会先调用 ToInt32 转换类型：把 64 位 Number 先转换为整数（abs 后再 floor）， 再取其低 32 位作有符号 32 位整数解释（即第一位被当做符号位，以 two’s complement 解释）。 例如：

console.log(Math.pow(2, 100) << 2)

输出为 0，因为 $2^{100}$ 的低 32 位全零，解释后的结果为 0，左移一位仍然为 0。

console.log((Math.pow(2,50) - 1) << 1)

输出为 -2，因为 $2^{50} - 1$ 的低 32 位全1，解释后的结果为 -1，左移一位右侧补 0 得到 -2。