2

热学分子平衡态理论要点 - hiDandelion's Space

 1 year ago
source link: https://www.hidandelion.com/2021/06/13/thermal02
Go to the source link to view the article. You can view the picture content, updated content and better typesetting reading experience. If the link is broken, please click the button below to view the snapshot at that time.

热学分子平衡态理论要点

Jun 13, 2021学术546 words in 4 min

麦克斯韦速率分布

f(v)\mathrm{d}v 表示气体分子中速率介于 v-v+\mathrm{d}v 的分子数与总分子数之比。
f(v)\mathrm{d}v=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\mathrm{exp}(-\frac{mv^2}{2kT})v^2\mathrm{d}v
其中 k 为玻尔兹曼常数, m 、 T 分别为气体分子质量及气体温度。

相对于 v_P 的麦克斯韦速率分布

令 u=\frac{v}{v_P}
\frac{\Delta N(0-v)}{N}=\mathrm{erf}(u)-\frac{2}{\sqrt{\pi}}u\mathrm{exp}(-u^2)

三种特殊速率

由麦克斯韦速率分布可计算出几种具有特殊物理意义的特殊速率。

方均根速率

通过麦克斯韦速率分布可推导出分子的方均根速率。
v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}

通过麦克斯韦速率分布可推导出分子的平均速率。
\overline v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}

最概然速率

分子速率在最概然速率附近的概率是最大的,可从麦克斯韦速率分布公式中获得。
v_P=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}

麦克斯韦速度分布

\frac{\mathrm{d}N(v_x,v_y,v_z)}{N}=f(v_x)\mathrm{d}v_x f(v_y)\mathrm{d}v_y f(v_z)\mathrm{d}v_z
其中 f(v_i)\mathrm{d}v_i=(\frac{m}{2\pi kT})^{1/2}\mathrm{exp}(-\frac{mv_i^2}{2kT})\mathrm{d}v_i

相对于 v_P 的麦克斯韦速度分布

令 u=\frac{v}{v_P}
\Delta N(0-v_x)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(u_x)

气体分子碰壁数

单位时间内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数。
\Gamma=\frac{1}{4}n\overline v=\frac{p}{\sqrt{2\pi mkT}}

玻尔兹曼分布

表示在温度T时分子或粒子处于能量差为 \varepsilon_1-\varepsilon_2 两种不同状态下的粒子数密度之比。
n_1=n_2\mathrm{exp}(-\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{kT})

能量均分定理

每一个分子总的平均能量为:
\overline \varepsilon=(t+r+2v)\frac{1}{2}kT
单原子分子的平均能量 \overline \varepsilon=\frac{3kT}{2}
双原子刚性分子的平均能量 \overline \varepsilon=\frac{5kT}{2}
双原子非刚性分子的平均能量 \overline \varepsilon=3kT

C_{V,m}=(t+r+2v)\frac{1}{2}R


About Joyk


Aggregate valuable and interesting links.
Joyk means Joy of geeK