如何计算湍流能谱
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如何计算湍流能谱
作者： physixfan
最近在如何数值上计算湍流能谱（turbulent energy spectrum）上面卡了好几天，现在终于问到了做过的人看了相应的书明白了正确的算法。写出来以供自己留个记录以及给搜索引擎喂食吧。
问题定义：现在已知速度场u(x)，求能谱Ek(k)。（我研究的问题是2D的，所以以下都按照2D来写了，推广到3D也是非常容易的事情。）
能谱的含义是动能在k空间上的分布函数，其对k进行积分之后将得到总的动能。其定义为：
其中Φii=Tr(Φij)（其中ij取12，如果是3D情况则ij取123）
其中Φij为关联函数（correlation function）的傅里叶变换：
其中F{.}是傅里叶变换的记号，而Rij为关联函数：
其中⟨.⟩表示对位置x的平均。
至此，根据定义，理论上如何用速度场u(x)求能谱Ek(k)已经非常清楚了。但是问题是，根据这个定义进行数值计算的话，2D情况下单单是计算Rij(r)的时间复杂度就已经是O(n4)了！这是因为Rij(r)本来就是一个二维的场量，而计算其中每个分量又需要对整个x做平均。如果是1024*1024的格点，这个时间复杂度是无论如何也算不出来了。。。
正确的算法是这样的：
根据 Cross-Correlation Theorem，或者其特列 Wiener-Khinchin Theorem，cross-correlation 等价于傅里叶空间中的乘积！大一时候微积分应该是学过这个定理的，没想到这么多年后居然用到了…因此我们可以直接简便地计算关联函数的傅里叶变换：
其中∗表示复共轭。
因此正确的算法是，先计算速度场的傅里叶变换u(k)，然后用上式来计算Φij(k)，然后就可以得到Ek(k)了。总时间复杂度的限制在傅里叶变换上，最后的总时间复杂度将是O(n2logn)。
注意：先计算动能场E(x)=ui(x)ui(x)然后直接对它进行傅里叶变换是得不到能谱的。
参考资料：
Pope, Turbulent Flows, 1st Edition, Page 219~221.
Press, Numerical Recipes in C, 2nd Edition, Page 545.
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