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人工智能数学基础7:两个重要极限及夹逼定理

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一、极限公式1

在这里插入图片描述

二、极限公式2

在这里插入图片描述
e为常数2.71828…

在这里插入图片描述

使用案例:

在这里插入图片描述
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三、夹逼定理

夹逼定理英文原名Squeeze Theorem,也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理,是判定极限存在的两个准则之一。是法国著名数学家、物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange,1736~1813)提出的。

3.1、数列夹逼定理

在这里插入图片描述

3.2、函数夹逼定理

f(x)与g(x)在x0处连续且存在相同的极限A,即x→ x0时, lim f(x)=lim g(x)=A,则若有函数k(x)在x0 的某邻域内(如x0∈(x1,x2)),恒有f(x)≤k(x)≤g(x),则当X趋近x0时 ,有lim f(x)≤lim k(x)≤lim g(x),即A≤lim k(x)≤A
故 lim k(x)=A。

简单地说:函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X,函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X,这个就是夹逼定理。

四、极限公式1的证明

证明方法:在下面的圆中,假设圆半径r=1(即圆为单位圆),OC=x,AC=y,AC垂直OB于C,DB为圆的切线,切点为B,则sinθ=y/r=y,tanθ=Y/X=BD/OB=BD,弧AB的长=θ * 2πr/360 =θ * 2π/360 =θ 。由图中可以得知:

  1. y<AB长<弧AB长,即sinθ < θ
  2. S△OBD>S扇OAB>S△OAC,即BDr/2>πrrθ/2π>y*x/2,r=1,x<r,得出BD>θ>y
  3. 从上面结论tanθ=BD、sinθ = y、BD>θ>y 得出:tanθ /sinθ > θ / sinθ > sinθ/sinθ,即:1/cosθ>θ / sinθ > 1,在θ趋于0时cossθ的极限值为1,因此1/cosθ极限值为1,根据夹逼定理θ / sinθ的极限值为1。
  4. 在这里插入图片描述

五、极限公式2的证明思路

5.1、证明(1+1/x)的x次方小于3

将(1+1/x)的x次方用二项式展开,变为:
1+x*1/x+x(x-1)/(2!*x²) +x(x-1)(x-2)/(3!*x³)+…+(1/x) 的x次方

可以看到对上面公式中:
  1. 每项都小于1
  2. 在n大于3时小于x时,第n项等于:x*(x-1)*…(x-n+2)/((n-1)!x的(n-1)次方),由于(x-k)/x小于等于1,则每项小于:1/(n-1)!,进一步小于等于1/(n-1)(n-2)
  3. 从上步可知,二项式展开式小于等于:1+1+1/(21)+1/(32)+1/(4*3)… ,也即二项式展开式小于等于:
    2+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(x-2)-1/(x-1)+(1/x)的x次方,也即小于:
    3-1/(x-1)+(1/x)的x次方,在x大于1的情况下1/(x-1)大于(1/x)的x次方,因此可以知道结果值小于3。

5.2、证明(1+1/x)的x次方单调递增

单调递增的证明非常简单,即将(1+1/x)的x次方和(1+1/(x+1))的x+1次方分别进行展开,可以看到后者展开的每项都大于等于前者且多一项。

从上面两步说明,(1+1/x)的x次方是小于3的单调递增的有界函数,其极限值称为e。

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