高斯滤波对图像方差有什么影响
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首先回忆下均值和方差的定义，若存在$n$个数为$x_1, x_2, \dots, x_n$，则均值$\mu$为：
$$\mu = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
均值衡量的是数值集中在哪个数值附近。令标准差为$\sigma$，则方差$\sigma^2$为：
$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2$$
标准差用于衡量数值分布距离均值的平均距离，即数据的集中程度。
定性分析
定性地分析，高斯滤波（平滑）对图像进行 平滑 ， 会让当前像素与周围像素更加接近 ，像素间更加接近自然方差会变小。从频域角度，高斯滤波相当于低通滤波， 会移除图像中“突兀”的高频成分 ，剩下的自然是相对“不突兀”的部分，反映在方差上就会变小。
定量分析
定量地看， 若不对图像进行任何假设，认为每个像素符合独立同分布 ，其均值和方差分别为$\mu$和$\sigma^2$，对其进行高斯滤波，假定窗口内共有$n$个像素，灰度值为$x_1, x_2, \dots, x_n$，对应的高斯权重为$g_1, g_2, \dots, g_n$，有$\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0$，则滤波后的当前像素的值为：
$$y = \sum_{i=1}^{n} g_i x_i$$
$y$的方差即：
$$Var(y) = Var(\sum_{i=1}^{n} g_i x_i)=Var(g_1 x_1 + g_2 x_2 +\dots+g_n x_n)$$
其中当高斯核确定后， $g_1, g_2, \dots, g_n$为常数 ，因为$x_1, x_2, \dots, x_n$ 相互独立且同分布 ，则进一步地
$$Var(y) = g_1^2 Var(x_1)+g_2^2Var(x_2)+\dots+g_n^2Var(x_n)=\sigma_2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2$$
由上$\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0$，$\forall g_i <1$，则$\sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1$，所以$Var(y)=\sigma^2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 < \sigma^2$，即经过高斯滤波后方差变小。
这里并不限于高斯滤波，对其他平滑滤波器同样试用——只需满足上述权重条件即可，即平滑滤波器将降低图像的方差。
当然，也可以从连续角度分析，具体可见参考部分。
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