假如太阳立刻消失了，地球能撑几秒？地球人能撑几秒？

路过的顺便问一下… 失去太阳引力的地球，按道理应该就是近似地球轨道的切线方向运动。那最后会撞上小行星带吗？失去太阳引力小行星带还会存在吗？本问题已…

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物理学话题下的优秀答主

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日志：之前有俩参数弄错了现作些修改，地球撕不烂辣

看不下去了，现在我们来计算引力波的冲击对地球的影响，民科退散。

假设太阳整个在t=0瞬间消失[注1]，考虑到 $\frac{GM_\odot}{c^2R_\odot}\approx 0.000001$ ,作弱场近似 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$

其中施瓦西解球坐标下取一级近似： $g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1+\frac{2\Phi}{c^2}&&&\\ &-(1+\frac{2\Phi}{c^2})^{-1}&&\\ &&-r^2&\\ &&&-r^2\sin^2\theta\\ \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1+\frac{2\Phi}{c^2}&&&\\ &-1+\frac{2\Phi}{c^2}&&\\ &&-r^2&\\ &&&-r^2\sin^2\theta\\ \end{pmatrix}$

$\Phi_0 = \Phi(r)=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM_{\odot}}{r},\,\,\,\,\,r>R_{\odot}\\ &\frac{GM_\odot (r^2-R_\odot^2)}{2R_\odot^3}-\frac{GM_\odot}{R_\odot}, \,\,\,\,\, r\le R_{\odot} \end{aligned}\right. \tag{1}$

v2-566c86fa5f21d4d9c0d428388d9bb611_720w.jpg?source=1940ef5c 初始引力势

那么我们有初始度规微扰 $h_{\mu\nu}(r,0)=\frac{2}{c^2} \begin{pmatrix} \Phi(r)I_{2\times 2}&&\\ &0&\\ &&0\\ \end{pmatrix}$ .

(如果你意识到要抬杠'怎么波动起来的h不是无迹的'那么说明你广义相对论这课上的还行，这tm根本就不是横波[注1]) .

将原球坐标作一合适的微小坐标变换[注2]: $x\to x+\xi$ ，可在t>0后观察到运动方程：

$R_{\mu\nu}\approx \frac{1}{2}\square h_{\mu\nu} =0 \Longrightarrow \square \Phi(r,t)=0 \tag{2}$

接下来就是你们很熟悉的那套 $\left(\nabla^2+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\widetilde{\Phi}=0$ 在初值条件 $\Phi(r,t=0)=\Phi_0$ 下的演化.在频域上 $\widetilde{\Phi}$ 可展开为球Hankel函数:

$\widetilde{\Phi}(r,\omega_k)=\sum_{l,m}\left[ A^{(1)}_{lm} h^{(1)}_{l}(kr) + A^{(2)}_{lm} h^{(2)}_{l}(kr) \right]Y_{lm}(\theta,\varphi) \tag{3}$

其中弱引力波色散 $k=\omega_k/c$ .

显然 $\widetilde{\Phi}(r,\omega)%=\widetilde{\Phi}(k,-\omega)$ 是实的并且没有角动量也不会发散，所以只有一对非零系数 $A_{00}^{(1)}=A_{00}^{(2)}=A_k/2$ , 即剩下零阶的球Bessel函数 $\widetilde{\Phi}(r,\omega_k)=A_kj_0(kr)$

为了满足初始条件，频域展开定义为 $\Phi(r,0)=\int \mathrm{d}k \widetilde{\Phi}(r,\omega_k) =\int \mathrm{d}k A_kj_0(kr)$

利用正交关系 $\int^\infty_0\mathrm{d}r \,r^2j_0(kr)j_0(k'r) =\frac{\pi}{2k^2}\delta(k-k')$

可以定出 $A_k$ :

$A_k =\frac{2k^2}{\pi}\int_{0}^\infty\mathrm{d}r\, r^2\Phi(r,0)j_0(kr) =\frac{2k}{\pi}\int_{0}^\infty \mathrm{d}r\, r\Phi(r,0)\sin(kr) \tag{4}$

应当注意上式在 $r>R_\odot$ 的积分会炸因为 $\Phi(r>R_\odot,t=0)$ 只满足零频的波动方程，所以数值上可以取一个足够大的截断，出于 $1\mathrm{au}\approx200R_\odot$ 的考虑，我们计算中取了 $R_\Lambda=10^8R_\odot$ 。所以(4)式在数值上可以近似为：

$A_k=\frac{2GM}{\pi} \left( \cos kR_\Lambda+\frac{3 \cos kR_\odot}{k^2R_\odot^2}-\frac{3\sin kR_\odot}{k^3R_\odot^3} \right) \tag{4.1}$

由于这道题的魔幻程度[注1]，我们不如令 $\partial_t \Phi(r,0)=0$ , 实空间的波动解可以写成：

$\Phi(r,t>0)=\int_0^\infty\mathrm{d}k\widetilde{\Phi}(r,0)\cos(\omega_kt) =\int_0^\infty\mathrm{d}kA_kj_0(kr)\cos(ckt) \tag{$\star$}$

v2-b2a62d0e12acd5f16c3aebfb1935dff1_hd.jpg?source=1940ef5c

左图是引力势的径向传播，右图是引力加速度的径向传播

我们观察到 $\partial_r\Phi(r,t\gg R_\odot/c)$ 是一个衰减的鼓包[注3]，也就是说加速度的随半径梯度先负后正，也就是说，被辐射的物体应当先被挤压后被拉伸。(对于作用在物体上潮汐力压强，应正比于重力加速度的梯度在对应方向上的积分。)

现作估计，我们注意到弱引力下近似有守恒量[注4]:

$\begin{aligned} \frac{1}{4\pi}\int(\nabla\Phi)^2\mathrm{d}^3x &=\int r^2(\nabla\Phi)^2\mathrm{d}r =\frac{21G^2M^2_\odot}{5R_\odot} \\ &\approx \int^{ct+5R_\odot}_{ct-5R_\odot} r^2(\partial_r\Phi)^2\mathrm{d}r \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r\gg R_\odot\\ \end{aligned} \tag{5}$

其中两个约等号是考虑了大半径的近似，以及弱引力波线性色散下 $r\approx ct$ 附近函数 $r^2(\partial_r\Phi)^2$ 几乎不变的事实, 可以知道函数衰减行为 $\partial_r\Phi\sim 1/r,\,\partial^2_r\Phi\sim 1/r^2$ 。出于我不会算但是我会用尺子量的精神：数值行为显示，在 $10R_\odot$ 左右，加速度梯度的最大值约 $0.15\frac{GM_\odot}{R^3_\odot}$ . 因此在地球公转半径 $1\mathrm{AU}\approx 200 R_\odot$ 处，加速度梯度衰减到 $\tau=-\frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2}=\frac{(10R_\odot)^2}{\mathrm{AU^2}}\cdot 0.15\frac{GM_\odot}{R^3_\odot} =\frac{15 GM_\odot}{\mathrm{AU^2}\cdot R_\odot}$ .

接下来考虑，密度 $\rho$ 半径 $R$ 匀质球受到的潮汐力。易知在径向最大横切面上有最大的撕裂压强：

$p_{\mathrm{tide}}=\frac{1}{\pi R^2}\int_0^R\tau r \frac{\delta M}{\delta r}\mathrm{d}r =\frac{\tau}{\pi R^2}\int_0^R r\pi\rho(R^2-r^2)\mathrm{d}r=\frac{\rho \tau R^2}{4}$

即施加总潮汐力: $F_{\mathrm{tide}}=\pi R^2p_{\mathrm{tide}}= \frac{\pi\rho \tau R^4}{4}$

又考虑到匀质球自身的万有引力作用，在半径r处产生压强：

$p_{\mathrm{grav}}(r)=\int_r^R\frac{G\frac{4\pi}{3}\rho^2 r^3}{r^2}=\frac{2\pi}{3}G\rho^2(R^2-r^2)$

故从最大横切面处分开该球至少要克服引力:

$F_G=2\pi\int_0^R p_{\mathrm{grav}}(r) r\mathrm{dr} =\frac{G\pi^2\rho^2 R^4}{3}$

如果匀质球抗拉临界强度是 $S_c$ , 那么撕裂的要求至少是:

$\begin{aligned} F_{\mathrm{tide}}-F_G>\pi R^2 S_c\\ \Longrightarrow \left(\frac{15M_\odot}{4\mathrm{AU^2}\cdot R_\odot} -\frac{\pi \rho}{3} \right)G\rho R^2&>S_c \end{aligned}$

这里可见撕裂的必要条件是左边系数必须大于零，那么存在临界密度：

$\rho_c=\frac{3\tau}{4\pi G}=\frac{45M_\odot}{4\pi\mathrm{AU^2}\cdot R_\odot}\approx 0.4558\mathrm{kg/m^3} \tag{6}$

使得球体密度小于这个密度才有撕裂的可能。现取 $\rho_0<\rho_c$ ，对应撕裂的临界半径是：

$R_c=\sqrt{S_c G^{-1} \left(\frac{15M_\odot}{4\mathrm{AU^2}\cdot R_\odot} -\frac{\pi \rho_0}{3} \right)^{-1}\rho_0^{-1} } \tag{7}$

使得球体半径大于该半径才有撕裂的可能。

可针对某一密度作出相图：

取真实的太阳质量，可以得到此相图，其中浅色区域表示可以撕裂。此图取了临界密度0.46kg/m^3以下的密度0.1kg/m^3, 这里指出只有在大于对应临界半径的时候，球体才可以被撕裂。

必须强调，临界密度 $\rho_c=0.455\mathrm{kg/m^3}$ 比标况下氮气的密度还低(比氢气高一些)[注5]。远小于固态行星的密度。所以地球丝毫没有被撕裂的可能。但是这个潮汐力的量级远大于日常潮汐力的量级( $\sim 10^3$ 倍)，所以在引力波掠过地球（约5秒）期间，可以对大气和海洋产生一定影响。

另外，我们可以通过将太阳质量增加到 $10000$ 倍或者缩小公转半径( $1/100$ )的方法来增大临界密度, 使其到一般固体的水平 $>10^3\mathrm{kg/m^3}$ . 即便如此，一般固体的抗拉强度 $S_c\sim 10^2\mathrm{MPa}$ 也会使得对应的临界半径大为增加。

作为一个例子，考虑将太阳质量放大20000倍，这时上述模型仍有效。可以由（6）算得地球轨道上的临界密度提升到 $4558\mathrm{kg/m^3}$ ，但仍然小于地球平均密度 $5514\mathrm{kg/m^3}$ . 然鹅，注意到月球的平均密度是 $3340\mathrm{kg/m^3}$ ，刚好在临界半径以下，代入钢铁的抗拉强度约 $400\mathrm{MPa}$ , 那么由(7)得到临界半径 $0.545\times10^6\mathrm{m}$ ，由于月球的真实半径是 $>1.7\times10^6\mathrm{m}$ , 所以这时候潮汐力可以撕裂月球。

将太阳质量放大2万倍后，月球（上图标点）刚好在可以撕裂的范围内。

-------------------注释比正文重要-----------------

注1：爱因斯坦场方程 $G_{\mu\nu}=8\pi G T_{\mu\nu}$ 的左边是一定无散的 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ , 然鹅让太阳消失使得t=0的时候物质流不守恒，等式右边的散度 $\nabla^\mu T_{\mu\nu}\ne0$ 甚至还发散，所以破坏了引力场动力学在t=0的结构。实际上，这个问题类似于在电动力学中让单个电荷突然消失然后问你“怎么解释这个电场纵波辐射/高斯定律”, 因为电荷流守恒是电动力学(麦克斯韦方程组)中的核心，破坏电荷守恒甚至会在一定程度上破坏电动力学拉氏量里面耦合项的规范不变性 $\nabla_\mu\xi\cdot J^\mu=\nabla_\mu(\xi J^\mu)-\xi\nabla_\mu J^\mu$ 。换句话说，对于很多物理方程，Conservation of matter really matters, 守恒律是一个隐含的必要条件。强行破坏这个条件，可以导致解出来不科学的波动模式。 比如本文说了这么长其实是一个不科学的引力纵波。正确的取走太阳的做法应该是沿着地球轨道法向，趁太阳不注意快速地抽离掉太阳，但这样引入的巨大动量便是另一个完全不同问题了（或者增加一个额外维将太阳偷走然后只考虑原本3+1维的这个切片）。无论如何，地球受到的潮汐力都会取决于太阳被顺走的"力度"。