2018.07.11更新：

在Sommerfel的理论物理教程第五卷：热力学与统计力学， $37 里详细讲解了用鞍点法计算配分函数时围道的取法，完全讲清了这个问题。这里抄一下书：

为了估计积分的值，我们需要沿着把原点环起来的路径，比如沿着一个圆，让这个圆通过 ζ0 （就是先前求出来的鞍点）。我们发现，在积分过程中经历了一个陡峭的路径，在一侧陡然下降，而在另一侧陡然上升。唯一对积分有重要贡献的是鞍点附近的部分。在鞍点附近，可以用圆的一部分切线来代替圆。忽略掉圆的其余部分。

也就是说，确实积分路径应该沿着以原点为圆心、 ζ0 为半径的圆（围道必须只在单位圆里边，因为积分在单位圆外边发散！）。但是因为只有离鞍点特别近的部分对积分有贡献，沿过 ζ0 的直线也是可以的！

书中还贴心地放了一张图。Sommerfeld果然是大教育家。

这里顺便安利Arnold Sommerfeld的理论物理教科书，一套六卷。热力学与统计力学这一卷行文中穿插了很多历史、原始文献，理论的来龙去脉、为什么要这么做，都讲的明明白白。目前第五卷、第二卷出了中文翻译版。

====原文====

这部分本来是在专栏建立之前写的，后来发现有专栏，就建立了一个。

但是不会把旧文移动到新专栏里，只好重复建设一篇。

问题：Pathria的积分限是否取的有问题？结论貌似是没有问题，不过我还是不太清楚。补知识去了。

前几天备课，听了S. C. Zhang的高徒吴从军的报告受鼓舞（解析函数在物理中的作用），就把王竹溪的师父、R. Fowler创立的运用“最速下降法”，也就是鞍点法，求得Maxwell分布准备了一下，这也是我校选定的教材、Pathria的统计力学里的一节。已于上周给20来个本科毕业生和1年级研究生讲授。准备把此经验用于下学期的“统计物理”教学。

这个方法运用复变函数知识，辅以物理的讨论，虽然在统计物理中（暂时的感受）不是特别重要，但仍属理论物理中的神来之笔。E. Schrödinger、ter Haar、David Chandler、Pathria都在书里介绍，国内教材却鲜有提及。仅沈惠川批判了一通。陈敏伯写的《统计力学理论化学用书》里放在附录中作为导出Stirling公式的办法，中科大胡照林编写的《统计热力学》里倒是详细讲解了一番。

不过Pathria的书中，一旦得到了最速下降法展开式

将 g(x) 在其鞍点展开，保留到2阶，得到：

到这里是纯粹的复变函在数渐进分析中的应用。但是一般来说，物理上对函数g(z)的二阶导数g''还有更强的近似，请看下边纪录。

1.（Pathria第三版47页27式，第二版50页27式）似乎有点忘乎所以，直接令 z=x_0+iy ，然后取积分自变量 y 从负无穷积分到正无穷了。（此处没有写出，需读者自行代入计算）这个做法看上去是抄袭的E. Schrödinger（第6章，6.9式）但是考虑到被积函数实际上的收敛半径是1，而积分限延拓到了收敛圆外边，貌似并不能让人信服。

2. 其他三个作者：Fowler、ter Haar、胡照林则采用了另一种计算方法，从变换的时候就有一点差别：

此处定义的 e^{Ng(x)} 和Schrödinger-Pathria的写法在分母上差一个 z 。

\alpha 可从负无穷积分到正无穷。这样保证了积分自变量只是沿着半径为 x_0 的围道（ x_{0}<1 ）转圈，虚部 y 不会跑到正负无穷去，看上去更加可靠一些。但是计算g''(x0)的时候又用了e指数函数的Taylor展开式，且用在了整个积分区间(0,2pi)，这个步骤看上去又不够严谨了。

原因是：在从（2）导出结果时，使用了一个展开：

但是问题是最后的积分取 \alpha 为正负无穷！这个展开式仅限于 \alpha\rightarrow 0 ！

R. Fowler书中讨论道：因为前边有个很大的数 N ，实际上 \sqrt{N}\alpha 在 \alpha 还很小的时候就可以取遍 (-\infty,+\infty) 。所以说虽然笔者用的很糙，结果还是对的。

《Complex variables》学习数学系的steepest descent或者叫saddle point法，就没见过这么搞的。因为在数学上，取 g(x) 展开式到2阶已经做了近似了。教科书中给的例子，在积分的时候都可以严格计算。而物理中则可以通过讨论搞掉更多不容易计算的东西。

（个人感觉，实际上，这个积分的被积函数只有在鞍点附近的函数值对积分有贡献，很快就收敛到0，所以积分限写到正负无穷也好，或者在整个积分区间使用鞍点附近的展开式也好，都不会给结果带来误差，所以两种方法殊途同归。这点是被积函数的特殊性保证的，而数学书里的讨论都没有对被积函数做过多的限制，假定了g''(x0)容易求得；而数学书里的例题也是这样设计的。但是物理中遇到的函数性质更加好。）

1. 最速下降法最早应用是在Peter Debye的一篇文章里：

Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index

P. Debye in München

(Approximation formulas for the cylinder functions for large values of the argument and unrestrictedly changing values of the index) Math. Ann. (1909) 67:535. 处理一个常微方程用的。

详细的数学推导在H. Jeffrey & B. S. Jeffrey 的Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. 1972, 17.03、17.04两节。（内容挺多，没有细看）ter Haar引用的就是这一部分。但是都没有提到Schrödinger那个搞法。斯米尔诺夫《高等数学教程》三卷二分册第78小节也讲了。又一次感叹，这套高数几乎涵盖了物理相关的几乎所有必需的数学。

刘叔仪主编的物理化学丛书具有高度可读性、丰富的内容，当年本科时就对其《结构化学》分册印象深刻。刚才查了一下刘老其人，发现真是神奇。首先是他作为一个冶金系的研究生，精研原子物理、高等物理化学、高等微积分、特殊函数、偏微分方程、张量向量等课程。其次是他竟然在本人的母校北洋大学任教过。最后，其人凭借在统计物理中的工作，跟王竹溪讨论问题、凭借对过渡态理论的造诣，跟本人从事的领域的祖师爷H. Erying谈笑风声。（附链接：中国科技大学离休教授、归侨、刘叔仪博士生平（一）--王美英_乌蒙寒树_新浪博客）物理化学原理丛书一套四册，第一卷《热力学与化学热力学》第二卷《结构化学》第三卷《配位场理论》第四卷《统计热力学》

感谢

G. C. Schatz & M. Ratner, Quantum Mechanics in Chemistry, pp. 247ff.

我自己找到的一个应用是：

D. Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics, Problem 3.8