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四元数的两个公式
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给出四元数两个常见公式的比较直接的推导。
本文会较多的用到四元数的乘法公式
- 球面插值公式
从 
到 
的球面插值公式为
其中
比较常见的办法是利用三维向量的球面插值类比得到，其实可以直接算出来。
从 
状态转到 
状态的转角为 ，转轴为 ，那么有
按照定义插值公式应该为
按照四元数性质有
可得
注意 
，利用四元数乘法可得
所以 
，带回得到
2.四元数的导数和角速度的关系
我在 《基于物理的建模与动画》的翻译 中给出了另一种
考虑刚体的定点转动，那么刚体上一点的位置随时间变化为
已知
两边求导可得
利用这个关系代入对 
的求导，化简可得
注意 
这个四元数正好与 
互为共轭，两个互为共轭的四元数之和为零，只有一种可能就是这个四元数的实部为零，可以表示为一个三维向量，这里记为 
，利用四元数的乘法公式可知
而已知
考虑到任意性只有 
，进而
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