数学、乐高积木、神经网络产生怎样的花火？超超超赞！

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作者：Omar U. Florez

编译：公众号编译部

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用乐高积木结合数学来解释神经网络

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神经网络是线性和非线性模块的巧妙组合。当我们明智地选择并连接它们时，我们就有了一个强大的工具来近似任何数学函数。例如，用非线性决策边界分离类的方法。

让我们从头开始构建一个神经网络，看看神经网络的内部功能，使用乐高积木块作为模块类比，每次一块积木。

神经网络作为一个组成部分

上图描述了一些用于训练神经网络的数学。在本文中，我们将对此进行解释。读者可能会发现，神经网络是一堆具有不同用途的模块：

输入X： 向神经网络提供原始数据，原始数据存储在一个矩阵中，其中观察值为行，维度为列。

权值W1： 将输入X映射到第一个隐藏层h1。权值W1是线性核函数

Sigmoid函数： 通过将隐藏层中的数字缩放到0-1。结果是一系列神经激活h1 = Sigmoid(WX)

这些操作仅计算一般线性系统，该系统不具有模拟非线性交互的能力。当我们再叠加一层时，情况就不同了，这就给这个模块结构增加了深度。网络越深，我们可以学到更微妙的非线性相互作用，我们可以解决更复杂的问题，这可能部分解释了深层神经模型的兴起。

举例：学习XOR函数

让我们打开黑匣子。现在我们将从头构建一个学习XOR函数的神经网络。这个非线性函数的选择绝不是随机的。如果没有反向传播，就很难学会用直线分隔类。

为了说明这个重要的概念，请注意下面一条直线是如何不能将XOR函数的输出0和1分开的。现实生活中的问题也是非线性可分的。

网络拓扑结构很简单：

1、输入X是一个二维向量；

2、权值W1是一个具有随机初始化值的2x3矩阵；

3、隐藏层h1由三个神经元组成。每个神经元接受一个加权的观测值作为输入，这是下图中绿色高亮显示的内积：z1 = [x1, x2][w1, w2]；

4、权值W2是一个具有随机初始化值和的3x2矩阵；

5、输出层h2由两个神经元组成，因为XOR函数返回0 (y1=[0,1])或1 (y2 =[1,0])

更直观的展示：

现在我们来训练模型。在我们的简单示例中，可训练的参数是权重，但请注意，目前的研究正在探索更多类型的参数进行优化。例如层之间的快捷方式、正则化分布、拓扑结构、残差、学习率等。

反向传播是一种向（梯度）方向更新权值的方法，它在给定一批标记的观测值的情况下最小化预定义的误差度量（称为损失函数）。这种算法已经被多次重新发现，它是一种更通用的技术的特例，这种技术称为逆向累加模式下的自动微分。

网络初始化

让我们用随机数初始化网络权重。

向前一步

这一步的目标是将输入X向前传播到网络的每一层，直到计算输出层h2中的向量为止。

事情是这样发生的：

以权值W1为核，线性映射输入数据X：

使用Sigmoid函数缩放该加权和z1，以获得第一个隐藏层h1的值。注意，原来的2D向量现在映射到3D空间。

第二层h2也发生了类似的过程。我们先计算第一个隐层的加权和z2，它现在是输入数据。

然后计算它们的Sigmoid活函数。该向量[0.37166596 0.45414264]表示由给定输入X的网络计算的对数概率或预测向量。

计算总损失

损失函数的目标是量化预测向量h2与y提供的实际标号之间的距离，也称为“实际减去预测值”。

请注意，Loss函数包含一个正则化组件，该组件惩罚较大的权重值，就像在Ridge回归中一样。换句话说，较大的平方权重值将增加损失函数，这是我们确实想要最小化的误差度量。

向后一步

该步骤的目标是更新神经网络的权值，使其损失函数最小化。我们将看到，这是一个递归算法，它可以重用以前计算的梯度，并且严重依赖于可微函数。由于这些更新减少了损失函数，网络“学会”用已知类近似观察值的标签。称为泛化的属性。

这个步骤的顺序是向后的，而不是向前的。首先计算损失函数对输出层（dLoss / dW2）和隐藏层（dLoss / dW1）的权重的偏导数。让我们详细解释每一个。

dLoss/ DW2：

链式法则说我们可以把神经网络的梯度计算分解成可微的部分：

作为一个内存助手，这些是上面使用的函数定义及其一阶导数：

更直观地说，我们的目标是在下面的图中更新权重W2（蓝色）。为了达到这个目的，我们需要计算沿着这个链的三个偏导数。

将值代入这些偏导数中，我们就可以计算出关于权值W2的梯度，如下所示。

结果是一个3x2矩阵dLoss/dW2，它将按照最小化损失函数的方向更新原始的W2值。

dLoss / dW1：

计算用于更新第一个隐藏层W1的权重的链式规则显示了重用现有计算的可能性。

更直观地说，从输出层到权值W1的路径涉及到已经在后面几层计算过的偏导数。

例如，偏导数dLoss/dh2和dh2/dz2在上一节中已经被计算为输出层dLoss/dW2学习权值的依赖项。

将所有的导数放在一起，我们可以再次执行链式法则来更新隐藏层W1的权值：

最后，我们将新值赋给权值，并在网络上完成了一个训练步骤。

代码实现

让我们把上面的数学方程转换成只用Numpy作为线性代数引擎的代码。神经网络是在一个循环中训练的，在这个循环中，每次迭代都向网络提供已校准的输入数据。在这个示例中，我们只考虑每次迭代中的整个数据集。由于我们在每个循环中更新可训练参数（代码中的矩阵w1和w2）及其相应的梯度（矩阵dL_dw1和dL_dw2），因此对前向步、损失步和向后步的计算具有良好的泛化性。代码见文末：

运行代码

下面是一些经过训练的神经网络，它们经过多次迭代来逼近XOR函数。

首先，让我们看看隐藏层中有3个神经元的神经网络是如何具有小容量的。该模型学习用一个简单的决策边界将两个类分开，该边界开始是一条直线，但随后显示出非线性行为。随着训练的继续，右边图中的损失函数很好地降低了 。

左图：准确性，中间：学习决策边界，右图：损失函数

在隐层中有50个神经元可以显著提高模型学习更复杂决策边界的能力。这不仅能产生更精确的结果，而且还能产生梯度爆炸，这在训练神经网络时是一个值得注意的问题。这种情况发生在非常大的梯度，在反向传播过程中乘以权重，从而生成较大的更新权重时。这就是为什么在训练的最后一步（步骤> 90）损失值突然增加的原因。损失函数的正则化组件计算平方值的权重已经非常大（sum（W²）/ 2N）。

可以通过降低学习率来避免这个问题，如下所示。或者通过实施一项随着时间的推移而降低学习速度的策略。或者通过加强正则化，也许是L1而不是L2。梯度爆炸和梯度消失是有趣的现象，我们将在后面进行完整的分析。

来源：https://towardsai.net/

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